常微分方程导言

高阶微分方程理论

线性微分方程的一般理论

1. 概论
   本文讲述形式如下的n阶线性微分方程
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{d^ny}}{\mathrm{dt^n}}+a_{1}(t)\frac{\mathrm{d^{(n-1)}y}}{\mathrm{dt^{(n-1)}}}+…+a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+a_{n}(t)=f(t)
   \end{aligned}\tag{1}$$
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{d^ny}}{\mathrm{dt^n}}+a_{1}(t)\frac{\mathrm{d^{(n-1)}y}}{\mathrm{dt^{(n-1)}}}+…+a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+a_{n}(t)=0
   \end{aligned}\tag{2}$$
   同我们所介绍过的概念一样，当方程右侧为零时，方程式是n阶齐次线性微分方程，反之则为非齐次线性微分方程

   虽然前文中我们没有系统性地阐述微分方程解的唯一性定理，但我们在这里依然要指出，方程式$(1)$的解由其初值条件唯一地确定，并且这个解在整个定义域区间内有定义.

2. 齐次线性微分方程地解地性质和结构
   在线性代数系列文章中我们详实的讲述过相关概念，因此对于曾经讲述过的概念，因此在这里只做定义阐述，我们将重点讲述新的知识.

   1. 叠加定理：如果$x_{1}(t),x_{2}(t)…$都是齐次线性方程$(2)$的解，那么由这些解构成的任意线性组合，都是方程$(2)$的解
   2. 线性相关与线性无关：定义在区间$t\in[a,b]$上的函数(向量)$x_{1}(t),x_{2}(t)…$如果存在不全为零的常数系数$c_{1},c_{2}…$,使得对于$\forall t\in[a,b]$，下述恒等式成立，则称这些函数(向量)线性相关
      $$\begin{aligned}
      c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)+…+c_{n}x_{n}(t)\equiv 0
      \end{aligned}\tag{3}$$
      如果使得上述等式成立的条件仅能是全部的常数系数恒为零，则称这些函数(向量)线性无关
   3. 朗斯基行列式
      朗斯基行列式是这么构成的：由定义在区间$t\in[a,b]$上的k个k-1次可谓的函数$x_{1}(t),x_{2}(t),…,x_{k}(t)$所构成的k阶行列式
      $$\begin{aligned}
      &W[x_{1}(t),x_{2}(t),…,x_{k}(t)] =\\
      &\begin{vmatrix}
      x_{1}& x_{2}& \cdots & x_{k} \\
      x_{1}’& x_{2}’ &\cdots & x_{k}’ \\
      \vdots & \vdots & &\vdots \\
      x_{1}^{(k-1)} & x_{2}^{(k-1)} & \cdots &x_{k}^{(k-1)}
      \end{vmatrix}
      \end{aligned}\tag{4}$$
      这就是这些函数构成的朗斯基行列式
   4. 定理：若定义在区间$t\in [a,b]$上的函数$x_{1}(t),x_{2}(t)…$线性相关，则在该区间上，由他们构成的朗斯基行列式的值恒为零，即$W(t)\equiv 0$，注意，该定理的逆定理一般不成立，即朗斯基行列式的值为零，不能得出这些函数线性相关.
      关于该定理，我们做一个简单的头脑证明.
   5. 1 由条件假设这组向量函数线性相关，则存在至少一个不为零的系数
   6. 2 构成朗斯基行列，则这些函数能够(k-1)次可微，分别对这组函数求(k-1)次导函数
   7. 3 经过步骤4.2我们得到了k个方程构成的方程组，方程组中方程形式如下
      $$\begin{aligned}
      \sum_{i=1}^{k}c_{i}x_{i}^{j}(t)=0,j\in [0,k-1]
      \end{aligned}\tag{5}$$
      根据线性代数理论，这k个齐次线性方程可以表示为矩阵的形式，系数矩阵即为朗斯基行列式所对应的矩阵，解矩阵是由系数构成的k维列向量.根据线代理论可知，齐次线性方程组存在非零解(因为线性相关)的充要条件是系数矩阵对应的行列式的值为零，得证.
   8. 定理：若定义在区间$t\in [a,b]$上的方程组的解$x_{1}(t),x_{2}(t)…$线性无关，则由其构成的朗斯基行列式的值在定义区间上任一点的值都不为零
   9. 定理：n阶齐次线性微分方程一定存在n个线性无关的解，方程的所有解构成一个n维线性空间。方程的一组n个线性无关的阶构成方程的一个基本解组，方程的基本解组不是唯一的

3. n阶非齐次线性微分方程的常数变易法
   对于形如$(1)$式的n阶非齐次线性微分方程，我们同样有常数变易法，其具体的操作方式与一阶非齐次线性微分方程的解法有类似之处，出于版面考虑，下面我们简要地概述一下具体操作步骤.

   1. 求算出对应n阶线性齐次方程$(2)$的基本解组$x_{1}(t),x_{2}(t)…$并写出通解形式：
      $$\begin{aligned}x=\sum_{i=1}^{n}c_{i}x_{i}(t)\end{aligned}\tag{6}$$
   2. 将上面的通解形式中的常数项视为自变量的函数，对$(6)$式求n-1次导函数，对得到的n-1个导函数进行如下的分解：
      $$\begin{aligned}
      x^{(k)}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}(t)x_{i}^{(k)}(t)+\sum_{i=1}^nc_{i}^{‘}(t)x_{i}^{(k-1)}(t),k\in [1,n-1]
      \end{aligned}\tag{7}$$
   3. 将式(7)中的第二项求和部分令为零，即：
      $$\begin{aligned}
      \sum_{i=1}^{n}c_{i}^{‘}(t)x_{i}^{k-1}(t)=0,k\in [1,n-1]
      \end{aligned}\tag{8}$$
   4. 求算$(6)$的第n阶导数，并保留类似$(7)$的完整形式
   5. 将经过2,3步骤拆分后的各阶导数和4的完整形式带入$(1)$，并注意到基本解组$x_{1}(t),x_{2}(t)…$是齐次线性方程$(2)$的解，因此最终将得到：
      $$\begin{aligned}
      \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{(n-1)}(t)c_{i}^{‘}(t)=f(t)
      \end{aligned}\tag{9}$$
   6. $(9)$式与步骤3中拆分得到的n-1个$(8)$式就组成了含有n个未知函数$c_{i}^{‘}(t)$的方程组，该方程组的系数行列式就是朗斯基行列式，它不等于零，因此方程的解是唯一的，进而可以具体解出系数形式

常系数线性微分方程的解法

0. 本节的讲述默认读者具备基础的复变函数基础，因此概念性的内容不再赘述，将对新鲜知识重点讲述

1. 复值解

   1. 对定义在区间$t\in [a,b]$上的实变量的复值函数$x=z(t)$，对$\forall t\in[a,b]$,若恒为方程
      $$\begin{aligned}
      \frac{\mathrm{d^nz(t)}}{\mathrm{dt^n}}+a_{1}(t)\frac{\mathrm{d^{n-1}z(t)}}{\mathrm{dt^{n-1}}}+….+a_{n}(t)z(t)=f(t)
      \end{aligned}\tag{10}$$
      的解，则称该解为复值解

   2. 定理：若方程$(2)$中所有的系数都是实数，并且$x=z(t)=\varphi(t)+i\psi(t)$是方程的复值解，则$z(t)$的实部$\varphi(t)$、虚部$\psi(t)$和其共轭复数都是方程的解

   3. 定理：若
      $$\begin{aligned}
      \frac{\mathrm{d^nx(t)}}{\mathrm{dt^n}}+a_{1}(t)\frac{\mathrm{d^{n-1}x(t)}}{\mathrm{dt^{n-1}}}+….+a_{n}(t)x(t)=u(t)+iv(t)
      \end{aligned}\tag{11}$$
      有复值解$x=U(t)+iV(t)$，则该解的实部和虚部分别对应为原方程的两个实方程的解
      $$\begin{aligned}
      \frac{\mathrm{d^nx(t)}}{\mathrm{dt^n}}+a_{1}(t)\frac{\mathrm{d^{n-1}x(t)}}{\mathrm{dt^{n-1}}}+….+a_{n}(t)x(t)=u(t)
      \end{aligned}$$
      $$\begin{aligned}
      \frac{\mathrm{d^nx(t)}}{\mathrm{dt^n}}+a_{1}(t)\frac{\mathrm{d^{n-1}x(t)}}{\mathrm{dt^{n-1}}}+….+a_{n}(t)x(t)=v(t)
      \end{aligned}$$

2. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
   当方程式$(2)$中的所有系数都是常数时，我们称方程为n阶常系数齐次线性微分方程，对于齐次线性方程，我们只需要求出它的基本解组就能得到方程的通解，下面介绍欧拉待定指数函数法，即特征根法

   1. 在一阶常系数齐次线性方程中我们知道方程的解为指数形式$x=e^{\lambda t}$，对于高阶方程我们也可以这么去猜！将猜测带入$(2)$得到：
      $$\begin{aligned}
      L[e^{\lambda t}]=(\lambda^n+a_{1}\lambda^{n-1}+…+a_{n-1}\lambda+a_{n})e^{\lambda t}
      \end{aligned}$$
      我们的猜测为方程解的充要条件是$\lambda$是其代数多项式方程的根
      $$\begin{aligned}
      F(\lambda)=(\lambda^n+a_{1}\lambda^{n-1}+…+a_{n-1}\lambda+a_{n})=0
      \end{aligned}\tag{12}$$
      方程$(12)$就是方程$(2)$的特征方程，其根就是方程的特征根，我们知道n次代数方程有n个复数根,下面讨论方程特征根的情况：
   2. 1 特征根是单根
      当方程$(12)$有n个彼此不等的根$\lambda_{1},\lambda_{2}…$，则方程$(2)$的基本解组就为$e^{\lambda_{1}t},e^{\lambda_{2}t}…$，并且这n个解在定义区间上是线性无关的(朗斯基行列式不为零)。
      当所有解都是实数时，方程的通解为：
      $$\begin{aligned}
      x=\sum_{i=1}^{n}c_{i}e^{\lambda_{i}t}
      \end{aligned}$$
      当存在解为复数时，显然复数解是成对共轭存在的，这是因为方程的系数是实数，比如$\lambda_{1}=a+bi,\lambda_{2}=a-bi$，则按照复数的指数-三角互化有
      $$\begin{aligned}
      e^{\lambda_{1}t}=e^{a}(\cos{bt}+i\sin{bt})\\
      e^{\lambda_{2}t}=e^{a}(\cos{bt}-i\sin{bt})
      \end{aligned}$$
      于是方程的两个实值解为$e^a\cos(bt),e^a\sin(bt)$
   3. 2 特征根有重根
      处于版面考虑不再仔细展开，只给出结论
      例如，当特征方程有k重根$\lambda=\lambda_{1}$时，当该特征根为实数时，方程$(2)$关于k重特征根$\lambda_{1}$的k个解就为：
      $$\begin{aligned}
      e^{\lambda_{1}t},te^{\lambda_{1}t},t^2e^{\lambda_{1}t}…t^{k-1}e^{\lambda_{1}t}
      \end{aligned}$$
      当该特征根为复数时，同样地，复数特征根也是成对共轭存在的，这对k重共轭特征根的2k个实数解为：
      $$\begin{aligned}
      e^{at}\cos bt,te^{at}\cos bt,t^2e^{at}\cos bt…t^{k-1}e^{at}\cos bt \\
      e^{at}\sin bt,te^{at}\sin bt,t^2e^{at}\sin bt…t^{k-1}e^{at}\sin bt
      \end{aligned}$$
      综上可见，当方程存在k重特征根时，它的解有一组”系数因子”$1,t,t^2…t^{k-1}$
   4. 形如
      $$\begin{aligned}
      x^n\frac{\mathrm{d^ny}}{\mathrm{dx^n}}+a_{1}x^{n-1}\frac{\mathrm{d^{n-1}y}}{\mathrm{dx^{n-1}}}+…+a_{n-1}x\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+a_{n}y=0
      \end{aligned}\tag{13}$$
      的方程称为欧拉方程，此方程可以化归为常系数齐次线性微分方程，化归方法为取变量代换：
      $$\begin{aligned}
      x=e^{t} \quad t=\ln|x|
      \end{aligned}\tag{14}$$
      通过这种方法就能化归为我们熟悉的形式，可见该方程有形如$y=e^{\lambda t}$的解，并注意到我们取的变量代换，就可以知道欧拉方程的解的形式为$y=x^{\lambda}$，代回欧拉方程就能得到关于$\lambda$的欧拉方程的特征代数方程。
      同样地，对应于特征方程m重实根$\lambda_{1}$的解为：
      $$\begin{aligned}
      x^{\lambda_{1}},x^{\lambda_{1}}\ln|x|,x^{\lambda_{1}}\ln^2|x|…
      \end{aligned}$$
      对于复数根，则其2m个解为：
      $$\begin{aligned}
      x^{a}\cos(b\ln|x|),x^{a}\ln|x|\cos(b\ln|x|),x^{a}\ln^2|x|\cos(b\ln|x|)…\\
      x^{a}\sin(b\ln|x|),x^{a}\ln|x|\sin(b\ln|x|),x^{a}\ln^2|x|\sin(b\ln|x|)…
      \end{aligned}$$
      可见其系数因子为$1,\ln|x|,\ln^2|x|,….,\ln^{k-1}|x|$

3. 非齐次线性微分方程的比较系数法与拉普拉斯变换
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