Kernel function transformation

请注意,本文最近一次更新于:2022-07-25,文章内容可能已经不具有时效性,请谨慎参考

本文最后更新于:2022年7月25日星期一下午3点00分 +08:00

去年小U写了很长很长的数学物理方法的两篇文章,今天决定发布一些附属文章,本文就专门写一些核函数相关的内容叭


快速虫洞


本文正文开始啦

  • 哦对了,由于之前的文章很详实了,本文只不加解释地写一些重点

关于Hilbert

  • 我们常遇到一类定义在实轴上的复变函数,这一类函数在包括实轴上的上半复平面内解析,并且在无穷点处的极限恒趋于零。为了求函数在实轴上某一点处的函数值,并且想知道函数的实部和虚部与函数的虚部和实部之间的关系,这就引来了Hilbert变换,又称为色散关系Hilbert变换常常用于频率分析和波的传输分析
  • 下面开始分析啦!
    • 设复变函数为
      $$\begin{aligned}
      g(z)=\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{dz}
      \end{aligned}\tag{1}$$
      $z_{0}=x_{0}$,就是我们说的实轴上的一点,由留数定理我们知道,函数$g(z)$在挖去奇点$z_{0}$的闭合曲线C上的积分为零。
      现在以$x_{0}$为圆心做一个$R->\infty$上半圆,我们可以得到这个:
      $$\begin{aligned}
      0=\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}&=(\int_{-R+x_{0}}^{x_{0}-\delta}\frac{f(x)}{x-x_{0}}+\int_{x_{0}+\delta}^{R+x_{0}}\frac{f(x)}{x-x_{0}})\mathrm{dx}\\
      &+\int_{\pi}^{0}\frac{f(x_{0}+\delta e^{i\theta})i\delta e^{i\theta}}{\delta e^{i\theta}}\mathrm{d\theta}+\int_{\pi}^{0}\frac{f(z_{0}+R e^{i\theta})iR e^{i\theta}}{R e^{i\theta}}\mathrm{d\theta}
      \end{aligned}\tag{2}$$
      对于上式第四项,在趋于无穷时被积函数稳定地趋于零,所以没了
      对于上式第三项,函数在$z_{0}$解析,所以结果为$-i\pi f(x_{0})$
      对于前两项是一个无穷限积分:
      $$\begin{aligned}
      (\int_{-R+x_{0}}^{x_{0}-\delta}\frac{f(x)}{x-x_{0}}+\int_{x_{0}+\delta}^{R+x_{0}}\frac{f(x)}{x-x_{0}})\mathrm{dx}=P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}
      \end{aligned}\tag{3}$$
      与是就得到啦如下结果:
      $$\begin{aligned}
      P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}=i\pi f(x_{0})
      \end{aligned}\tag{4}$$上面这个很重要噢!,其实就可以理解为留数定理的结果,只不过是半个圆,所以$2\pi res(f(z))->\pi res(f(z))$ 复变函数为:
      $$\begin{aligned}
      f(x)=u(x)+iv(x)
      \end{aligned}\tag{5}$$
      对应地带入$(4)$就能得到色散关系啦
      $$\begin{aligned}
      Re f(x_{0})=\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{Im f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}\\
      Im f(x_{0})=-\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{Re f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}
      \end{aligned}\tag{6}$$

关于Fourier

  • 由于这个大家都比较熟悉,不加推导啦
  • 傅里叶展开形式
    • 三角级数
      $$\begin{aligned}
      f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(a_{k}\cos\frac{k\pi x}{l}+b_{k}\sin\frac{k\pi x}{l})
      \end{aligned}\tag{1}$$
      $$\begin{aligned}
      a_{k}&=\frac{1}{\delta l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{k\pi x}{l}\mathrm{dx},\quad [k\in N^{+},\delta = 1][k=0,\delta = 2]\\
      b_{k}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{k\pi x}{l}\mathrm{dx}
      \end{aligned}\tag{2}$$
    • 指数式
      $$\begin{aligned}
      f(x)\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_{k}e^{i\frac{k\pi}{l}x}\\
      C_{k}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-ikx}\mathrm{dx}
      \end{aligned}\tag{3}$$
  • 延拓方式
    • $f(0)=0$,进行奇延拓
    • $f’(0)=0$,进行偶延拓
  • Fourier变换
    • 变换条件:
      • 变换函数是定义在全域上的实函数,并且在任何区间上满足Dirichlet条件,即仅存在有限个第一类间断点,极值数目有限,并且变换绝对值积分收敛
    • 变换形式: $$\begin{aligned}
      f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}C(k)e^{ikx}\mathrm{dk}\\
      C(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\mathrm{dx}
      \end{aligned}\tag{4}$$
      所以傅里叶变换的核函数为$e^{-ikx}$
      一般记法为:
      $$\begin{aligned}
      F(k)=\mathscr{F}(f(x))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\mathrm{dx}
      \end{aligned}$$
    • 三维傅里叶变换形式
      $$\begin{aligned}
      f(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}C(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\mathrm{d\vec{k}}\\
      C(\vec{k})=\int_{-\infty}^{\infty}f(\vec{r})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}\mathrm{d\vec{r}}\\
      \mathrm{d\vec{k}}=\mathrm{dk_{1}}\mathrm{dk_{2}}\mathrm{dk_{3}}\quad \vec{k}=k_{1}e_{1}+k_{2}e_{2}+k_{3}e_{3}
      \end{aligned}\tag{5}$$
    • 变换性质
      • 线性定理
        $$\begin{aligned}
        \mathscr{F}(af(x)+bg(x))=a\mathscr{F}(f(x))+b\mathscr{F}(g(x))
        \end{aligned}\tag{6}$$
      • 延迟定理
        $$\begin{aligned}
        \mathscr{F}(f(x-x_{0}))=e^{-ikx_{0}}\mathscr{F}(f(x))
        \end{aligned}\tag{7}$$
      • 位移定理
        $$\begin{aligned}
        \mathscr{F}(f(x)e^{ik_{0}x})=C(k-k_{0})
        \end{aligned}\tag{8}$$
      • 标度定理
        $$\begin{aligned}
        \mathscr{F}(f(ax))=\frac{1}{a}C(\frac{k}{a})
        \end{aligned}\tag{9}$$
      • 微分定理
        $$\begin{aligned}
        \mathscr{F}(f^{n}(x))=(ik)^{n}\mathscr{F}(f(x))
        \end{aligned}\tag{10}$$
        要求变换函数趋于无穷时,函数稳定趋于零
      • 卷积定理
        $$\begin{aligned}
        \mathscr{F}(f(x)*g(x))=\mathscr{F}(f(x))\mathscr{F}(g(x))\\
        f(x)*g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-\xi)g(x)\mathrm{dx}
        \end{aligned}\tag{11}$$
      • 上面中最常用的就是延迟定理和微分定理啦

关于Laplace

  • Laplace变换
    • 核函数:$e^{-pt}$
    • 变换公式:
      $$\begin{aligned}
      F(p)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}\mathrm{dt}
      \end{aligned}\tag{0}$$
    • 记法:$f(t)\fallingdotseq F(p)$,$F(p)$称为像函数
    • 变换性质
      • 线性定理
        $$\begin{aligned}
        af(t)+bg(t)\fallingdotseq aF_{1}(p)+bF_{2}(p)
        \end{aligned}\tag{1}$$
      • 延迟定理
        $$\begin{aligned}
        f(t-t_{0})\fallingdotseq e^{-pt_{0}}F(p)
        \end{aligned}\tag{2}$$
      • 位移定理
        $$\begin{aligned}
        f(t)e^{\lambda t}\fallingdotseq F(p-\lambda)
        \end{aligned}\tag{3}$$
      • 卷积定理
        $$\begin{aligned}
        f(t)*g(t)\fallingdotseq F_{1}(p)F_{2}(p)
        \end{aligned}\tag{4}$$
      • 微分定理
        $$\begin{aligned}
        f’(t)\fallingdotseq pF(p)-f(0)\\
        f’’(t)\fallingdotseq p^2F(p)-pf(0)-f’(0)\\
        f^{n}(t)\fallingdotseq p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f’(0)…-f^{n-1}(0)
        \end{aligned}\tag{5}$$
      • 标度定理
        $$\begin{aligned}
        f(at)\fallingdotseq\frac{1}{a}F(\frac{p}{a})
        \end{aligned}\tag{6}$$
  • 由像函数求逆变换的定理
    $$\begin{aligned}
    f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta - i\infty}^{\beta + i\infty}F(p)e^{pt}\mathrm{dp}\quad t>0
    \end{aligned}\tag{7}$$
    $\beta$为任意一条平行于虚轴的直线的实部
  • 一族Laplace变换的原-像公式
    $$\begin{equation}
    1\fallingdotseq\frac{1}{p}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    t^n\fallingdotseq \frac{n!}{p^{n+1}}\fallingdotseq\frac{\Gamma(n+1)}{p^{n+1}}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    e^{at}\fallingdotseq\frac{1}{p-a}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    t^ne^{at}\fallingdotseq\frac{\Gamma(n+1)}{(p-n)^{n+1}}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    \sin(at)\fallingdotseq\frac{a}{p^2+a^2}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    \cos(at)\fallingdotseq\frac{p}{p^2+a^2}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    \mathrm{sh}(at)\fallingdotseq\frac{a}{p^2-a^2}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    \mathrm{ch}(at)\fallingdotseq\frac{p}{p^2-a^2}
    \end{equation}$$
    $$\begin{equation}
    \frac{1}{\sqrt{\pi t}}=\frac{1}{\sqrt{p}}
    \end{equation}$$
  • 对像函数的求导公式
    $$\begin{equation}
    F^{(n)}(p)\risingdotseq (-1)^nt^nf(t)
    \end{equation}$$
  • 对像函数的积分公式
    $$\begin{equation}
    \int_p^{\infty}F(p)\mathrm{dp}\risingdotseq\frac{f(t)}{t}
    \end{equation}$$

特殊函数

Γ函数

  • Γ函数定义
    $$\begin{aligned}
    \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{dt}
    \end{aligned}\tag{1}$$
  • Γ函数基本性质
    • Γ(1)=1
    • $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)=z!$
    • $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}$
    • 近似关系:$\ln{\Gamma(n+1)}=\ln{n!}\approx n\ln{n}-n$
    • $\Gamma$函数在全平面解析

ψ函数

  • ψ函数是Γ函数的对数微商
  • ψ函数的定义
    $$\begin{aligned}
    \psi(z)=\frac{\ln{\Gamma(z)}}{\mathrm{dz}}=\frac{\Gamma’(z)}{\Gamma(z)}
    \end{aligned}$$
  • ψ函数的性质
    • 在z=0,-1,-2…都是一阶极点,留数均为-1;除了这些点外在全平面解析
    • $\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}$
    • $\psi(z+n)=\psi(z)+\frac{1}{z}+\frac{1}{z+1}+…+\frac{1}{z+n-1}\quad n=2,3,…$
    • $\psi(1-z)=\psi(z)+\pi\cot\pi z$
    • $\psi(z)-\psi(-z)=-\frac{1}{z}-\pi\cot\pi z$
    • $\psi(1)=-\gamma\quad \gamma 为欧拉常数$

B函数

  • B函数定义
    $$\begin{aligned}
    B(p,q)=\int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\mathrm{dt}\quad Re p>0,Re q>0
    \end{aligned}$$
  • 性质
    • $B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
    • $B(p,q)=B(q,p)$

ζ函数

  • ζ函数定义
    $$\begin{aligned}
    \zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z},\quad Re z>1
    \end{aligned}$$
  • 性质
    • $\zeta(1-z)=\frac{2\Gamma(z)}{(2\pi)^z}\cos\frac{\pi z}{2}\zeta(z)$
    • $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$
    • $\zeta’(0)=-\frac{1}{2}\ln{2\pi}$

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