常微分方程导言

请注意,本文最近一次更新于:2022-02-17,文章内容可能已经不具有时效性,请谨慎参考

本文最后更新于:2022年2月17日星期四晚上10点47分 +08:00

一阶方程初等解法


分离与变换

  1. 直接分离变量
    $$\begin{aligned}
    \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=f(x)g(y)
    \end{aligned}\tag{1}$$
    这种类型可以两边直接积分,但需要注意单独讨论使得$g(y)=0$的解是也是方程的解

  2. 直接变换
    2.1 形式如下的齐次方程
    $$\begin{aligned}
    \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=g(\frac{y}{x})
    \end{aligned}\tag{2}$$
    做变量代换
    $$\begin{cases}
    let \quad u=\frac{y}{x} \\
    x\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=g(u)-u
    \end{cases}\tag{3}$$
    2.2 形式如下的分式微分方程
    $$\begin{aligned}
    \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{ax+by+c}{dx+ey+f}
    \end{aligned}\tag{4}$$
    情形分析如下:
    2.2.1 倍比
    $$\begin{cases}
    &\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k \\
    &\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=k
    \end{cases}\tag{5}$$
    2.2.2 不完全倍比
    $$\begin{cases}
    k=\frac{a}{d}=\frac{b}{e}\neq\frac{c}{f} \\
    let \quad u=dx+ey \\
    \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=d+e\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=d+e\frac{ku+c}{u+f}
    \end{cases}\tag{6}$$
    为分离变量方程
    2.2.3 一般情形
    方程$(4)$右端分式均为一次线性方程
    $$\begin{cases}
    ax+by+c=0 \\
    dx+ey+f=0
    \end{cases}$$
    在两直线非等倾情形下存在唯一交点$(\alpha,\beta)$
    $$\begin{aligned}
    let \quad X=x-\alpha, Y=y-\beta
    \end{aligned}$$
    对原线性方程组有
    $$\begin{cases}
    aX+bY=0 \\
    dX+eY=0
    \end{cases}$$
    $$\begin{aligned}
    \frac{\mathrm{dY}}{\mathrm{dX}}=\frac{aX+bY}{dX+eY}
    \end{aligned}\tag{7}$$
    为齐次微分方程

    常数变易法

  3. 一阶线性微分方程
    一阶线性微分方程的一般形式为
    $$\begin{aligned}
    \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=P(x)y+Q(x)
    \end{aligned}\tag{8}$$
    并有:
    $$\begin{cases}
    Q(x)\equiv 0, 齐次 \\
    Q(x)\neq 0, 非齐次
    \end{cases}$$

  4. 常数变易法
    为求解非齐次线性微分方程的解,我们引入常数变易法
    很容易写出$(8)$式对应的齐次方程的通解形式
    $$\begin{aligned}
    y=ce^{\int P(x)\mathrm{dx}}
    \end{aligned}\tag{9}$$
    常数变易法,字面意思就是将常数c变易为(视为)自变量的函数
    $$\begin{aligned}
    y=c(x)e^{\int P(x)\mathrm{dx}}
    \end{aligned}\tag{10}$$
    然后再对自变量求导
    $$\begin{aligned}
    \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}&=\frac{\mathrm{dc(x)}}{\mathrm{dx}}e^{\int P(x)\mathrm{dx}}+c(x)P(x)e^{\int P(x)\mathrm{dx}} \\
    &=\frac{\mathrm{dc(x)}}{\mathrm{dx}}e^{\int P(x)\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-Q(x)
    \end{aligned}\tag{11}$$
    于是
    $$\begin{aligned}
    c(x)=\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm{dx}}\mathrm{dx} + C
    \end{aligned}\tag{12}$$
    最终整理便得到一阶非齐次线性方程的解
    $$\begin{aligned}
    y=e^{\int P(x)\mathrm{dx}}(\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm{dx}}\mathrm{dx} + C)
    \end{aligned}\tag{13}$$

  5. 伯努利方程
    伯努利方程的形式为
    $$\begin{aligned}
    \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=P(x)y+Q(x)y^n,n\neq 0,1
    \end{aligned}\tag{14}$$
    解析这类方程采用变量变换的方式将之化为线性微分方程
    $$\begin{aligned}
    & y^{-n}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=P(x)y^{1-n}+Q(x) \\
    & \frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{dy^{1-n}}}{\mathrm{dx}}=P(x)y^{1-n}+Q(x) \\
    & let \quad z=y^{1-n}
    \end{aligned}\tag{15}$$
    变更为线性方程

    恰当方程与积分因子

  6. 恰当方程
    平权地看待一阶微分方程的自变量和因变量,可以将形式表征为
    $$\begin{aligned}
    M(x,y)\mathrm{dx}+N(x,y)\mathrm{dy}=0
    \end{aligned}\tag{16}$$
    函数$M(x,y),N(x,y)$是某矩形区域内$(x,y)$的连续函数且具有连续的一阶偏导数

    如果上式是某二元函数$u(x,y)$的全微分形式,则上式为恰当方程
    当上式为恰当方程时,满足如下性质
    $$\begin{cases}
    \frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y) \\
    \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)
    \end{cases}\tag{17}$$
    由于函数$M(x,y),N(x,y)$具有连续一阶偏导数,根据杨氏定理,二元函数$u(x,y)$的混合偏导数将相等
    $$\begin{aligned}
    \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
    \end{aligned}\tag{18}$$
    式$(18)$即为恰当方程的充要条件

    通过如下步骤寻求方程$(16)$的通解
    1.1
    $$\begin{aligned}
    let \quad u=\int M(x,y)\mathrm{dx}+\varphi(y)
    \end{aligned}$$
    1.2
    $$\begin{aligned}
    &according \quad \frac{\partial u}{\partial y}=N \\
    &N=\frac{\mathrm{d\varphi(y)}}{\mathrm{dy}}+\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{dx} \\
    &integral \quad \varphi(y)
    \end{aligned}$$
    1.3
    $$\begin{aligned}
    &The \quad Final \quad Solution \\
    &\int M(x,y)\mathrm{dx}+\int[N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{dx}]\mathrm{dy}\equiv c
    \end{aligned}\tag{19}$$
    题外话:
    可以先通过$(18)$判断方程是否满足全微分方程条件(即恰当方程),满足条件后,可以将各微分因子进行组合积分,便可以得到通解.
    举个例子
    $$\begin{aligned}
    (3x^2+6xy^2)\mathrm{dx}+(4y^3+6yx^2)\mathrm{dy}=0
    \end{aligned}$$
    显然满足充要条件式,进行组合积分
    $$\begin{aligned}
    &\mathrm{dx^3}+3y^2\mathrm{dx^2}+\mathrm{dy^4}+3x^2\mathrm{dy^2}=0\\
    &\mathrm{d(x^3+y^4+3x^2y^2)}=0
    \end{aligned}$$
    通解即为
    $$\begin{aligned}
    x^3+y^4+3x^2y^2=c
    \end{aligned}$$

  7. 积分因子
    本节的目的是将非恰当方程化为恰当方程求解
    对于非恰当方程,如果存在一个连续可微的函数$\mu(x,y)\neq 0$使得下述方程为恰当方程
    $$\begin{aligned}
    &\mu(x,y)M(x,y)\mathrm{dx}+\mu(x,y)N(x,y)\mathrm{dy}=0 \\
    &\Leftrightarrow
    \mu M\mathrm{dx}+\mu N\mathrm{dy}\equiv\mathrm{dv}
    \end{aligned}\tag{20}$$
    则称$\mu=\mu(x,y)$为方程$(16)$的积分因子

    只要方程有解存在,则方程必存在积分因子,并且积分因子不唯一.
    此时$v(x,y)=c$即为$(20)$的通解,自然也为$(16)$的通解
    根据恰当方程的充要条件$(18)$即得
    $$\begin{aligned}
    &\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} \\
    &\Leftrightarrow \\
    &N\frac{\partial \mu}{\partial x}-M\frac{\partial \mu}{\partial y}=\mu(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})
    \end{aligned}\tag{21}$$
    解析该一阶线性偏微分方程就能得到积分因子
    需要一提的是,求解积分因子一般不是容易的,为此,我们一般先假设积分因子只是x或只是y的函数,或者通过观察进行分项组合等

    一阶隐式微分方程

    一阶微分方程的隐式形式可表示为
    $$\begin{aligned}
    F(x,y,y’)=0
    \end{aligned}\tag{22}$$
    对于一些难以解出或者解出形式过于复杂的$y’$一般采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程类型.

  8. 类型一
    $$\begin{aligned}
    y=f(x,\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}})
    \end{aligned}\tag{23}$$
    这里假设右端函数具有连续的一阶偏导数
    解法如下:
    $$\begin{aligned}
    &let \quad \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=p \\
    &p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}
    \end{aligned}\tag{24}$$
    这是x,p的一阶微分方程,但它的导数已经解出,可以按照前述方法得到方程的通解,进一步得到原方程参数形式的解

  9. 类型二
    $$\begin{aligned}
    x=f(y,\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}})
    \end{aligned}\tag{25}$$
    方法同上

  10. 类型三
    $$\begin{aligned}
    F(x,y’)=0
    \end{aligned}\tag{26}$$
    解法如下:
    $$\begin{aligned}
    &let \quad p=y’=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}
    \end{aligned}$$
    从几何角度看待问题,方程$(26)$的含义表示Oxp平面上的一条曲线,我们将曲线表示为参数方程形式
    $$\begin{cases}
    x=\varphi(t) \\
    p=\psi(t)
    \end{cases}\tag{27}$$
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{dy}=\psi(t)\varphi’(t)\mathrm{dt}
    \end{aligned}$$
    对上式积分就能得到参数形式的通解.

  11. 类型四
    $$\begin{aligned}
    F(y,y’)=0
    \end{aligned}\tag{28}$$
    方法同类型三

    包络和奇解

  12. 包络和奇解
    对某些微分方程,存在一条特殊的积分曲线,这条积分曲线并不属于这方程的积分曲线族,但这条特殊积分去线上的每一点都与积分曲线族的一条曲线相切.在几何学上,这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络,(根据定义,包络显然也是方程的解);在微分方程里,这条特殊积分曲线所对应的解称为方程的奇解

  13. 积分曲线族包络的求法
    设给定的单参数曲线族方程为
    $$\begin{aligned}
    \Phi(x,y,c)=0
    \end{aligned}\tag{29}$$
    上式中c为单参数,方程是x,y,c的连续可微函数,微分几何学研究表明曲线族$(29)$的包络包含在下面的方程组消去参数c得到的曲线中
    $$\begin{cases}
    \Phi(x,y,c)=0 \\
    \Phi_{c}’(x,y,c)=0
    \end{cases}\tag{30}$$
    得到的曲线称为c-判别曲线,需要强调的是得到的c-判别曲线中除去包络外还有其他的曲线,需要甄别

  14. 奇解的详细概念
    奇解的意思是,微分方程的奇解对应的曲线上的没一点至少有方程的两条权限通过,奇解(特殊积分曲线)上的每一点解的唯一性都不成立
    根据奇解的定义可知,一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之,如果方程的奇解存在,则微分方程的奇解也是微分方程通解的包络,因此为了求微分方程的包络,可以先求出方程的通解,在按2中方法求出包络

  15. 微分方程解的唯一性定理
    由于涉及数学分析的知识,这里不会展开陈述,我们会将其翻译成简单的数学语言供了解
    下面讲述的微分方程解存在的唯一性定理中的一个定理,因为这个定理没有复杂的数学分析语言,下面开始表述!
    定理:如果一阶微分方程$F(x,y,y’)$

    1. 关于$x,y,y’$连续可微
    2. $\frac{\partial F}{\partial y’}\neq 0$
      则方程存在唯一解
  16. 由4中定理带来的新的包络求法
    根据4中对解唯一性定理的表述,可以得出包含奇解的条件方程组:
    一阶微分方程方程形式为
    $$\begin{aligned}
    F(x,y,y’)=0
    \end{aligned}$$
    包含方程的奇解的方程组为
    $$\begin{cases}
    F(x,y,p)=0 \\
    F_{p}’(x,y,p)=0
    \end{cases}\tag{31}$$
    消去p得到的曲线方程中包含方程的奇解,同样可能存在其他的干扰曲线,需要甄别,甄别方式是,由于奇解也为微分方程的解,因此带入需要满足微分方程.
    此曲线方程称为微分方程的p-判别曲线

  17. 克莱罗微分方程
    克莱罗微分方程的形式同我们在##一阶隐式微分方程中所讲述的类型一一致,下面再写一遍
    $$\begin{aligned}
    y=xp+f(p)
    \end{aligned}\tag{32}$$
    无特殊说明,下面均用$p=y’=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$来表征替代,f(p)是连续可微函数
    对式$(32)$两侧求取x的导函数并能得到:
    $$\begin{aligned}
    &p=p+x\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}+f’(p)\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}} \\
    &\Rightarrow \frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}(x+f’(p))=0 \\
    &\Rightarrow \begin{cases}
    y=cx+f(c), p=c=const \\
    \begin{cases}
    x+f’(p)=0 \\
    y=xp+f(p)
    \end{cases},x+f’(p)=0
    \end{cases}
    \end{aligned}\tag{33}$$
    可以证明,上面两个情况得到的解的最终的形式是一致的,克莱罗方程的通解是一直线族$(y=cx+f(c))$,可见只需要将p用c代替就能得到通解,该直线族的包络就是方程的奇解,包络求法参见上面的曲线族包络求法,其本质与求解微分方程包括是一致的.


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