常微分方程导言

一阶方程初等解法

分离与变换

1. 直接分离变量
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=f(x)g(y)
   \end{aligned}\tag{1}$$
   这种类型可以两边直接积分，但需要注意单独讨论使得$g(y)=0$的解是也是方程的解

2. 直接变换
   2.1 形式如下的齐次方程
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=g(\frac{y}{x})
   \end{aligned}\tag{2}$$
   做变量代换
   $$\begin{cases}
   let \quad u=\frac{y}{x} \\
   x\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=g(u)-u
   \end{cases}\tag{3}$$
   2.2 形式如下的分式微分方程
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{ax+by+c}{dx+ey+f}
   \end{aligned}\tag{4}$$
   情形分析如下：
   2.2.1 倍比
   $$\begin{cases}
   &\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k \\
   &\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=k
   \end{cases}\tag{5}$$
   2.2.2 不完全倍比
   $$\begin{cases}
   k=\frac{a}{d}=\frac{b}{e}\neq\frac{c}{f} \\
   let \quad u=dx+ey \\
   \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=d+e\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=d+e\frac{ku+c}{u+f}
   \end{cases}\tag{6}$$
   为分离变量方程
   2.2.3 一般情形
   方程$(4)$右端分式均为一次线性方程
   $$\begin{cases}
   ax+by+c=0 \\
   dx+ey+f=0
   \end{cases}$$
   在两直线非等倾情形下存在唯一交点$(\alpha,\beta)$
   $$\begin{aligned}
   let \quad X=x-\alpha, Y=y-\beta
   \end{aligned}$$
   对原线性方程组有
   $$\begin{cases}
   aX+bY=0 \\
   dX+eY=0
   \end{cases}$$
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{dY}}{\mathrm{dX}}=\frac{aX+bY}{dX+eY}
   \end{aligned}\tag{7}$$
   为齐次微分方程

   常数变易法

3. 一阶线性微分方程
   一阶线性微分方程的一般形式为
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=P(x)y+Q(x)
   \end{aligned}\tag{8}$$
   并有：
   $$\begin{cases}
   Q(x)\equiv 0, 齐次 \\
   Q(x)\neq 0, 非齐次
   \end{cases}$$

4. 常数变易法
   为求解非齐次线性微分方程的解，我们引入常数变易法
   很容易写出$(8)$式对应的齐次方程的通解形式
   $$\begin{aligned}
   y=ce^{\int P(x)\mathrm{dx}}
   \end{aligned}\tag{9}$$
   常数变易法，字面意思就是将常数c变易为(视为)自变量的函数
   $$\begin{aligned}
   y=c(x)e^{\int P(x)\mathrm{dx}}
   \end{aligned}\tag{10}$$
   然后再对自变量求导
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}&=\frac{\mathrm{dc(x)}}{\mathrm{dx}}e^{\int P(x)\mathrm{dx}}+c(x)P(x)e^{\int P(x)\mathrm{dx}} \\
   &=\frac{\mathrm{dc(x)}}{\mathrm{dx}}e^{\int P(x)\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-Q(x)
   \end{aligned}\tag{11}$$
   于是
   $$\begin{aligned}
   c(x)=\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm{dx}}\mathrm{dx} + C
   \end{aligned}\tag{12}$$
   最终整理便得到一阶非齐次线性方程的解
   $$\begin{aligned}
   y=e^{\int P(x)\mathrm{dx}}(\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm{dx}}\mathrm{dx} + C)
   \end{aligned}\tag{13}$$

5. 伯努利方程
   伯努利方程的形式为
   $$\begin{aligned}
   \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=P(x)y+Q(x)y^n,n\neq 0,1
   \end{aligned}\tag{14}$$
   解析这类方程采用变量变换的方式将之化为线性微分方程
   $$\begin{aligned}
   & y^{-n}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=P(x)y^{1-n}+Q(x) \\
   & \frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{dy^{1-n}}}{\mathrm{dx}}=P(x)y^{1-n}+Q(x) \\
   & let \quad z=y^{1-n}
   \end{aligned}\tag{15}$$
   变更为线性方程

   恰当方程与积分因子

6. 恰当方程
   平权地看待一阶微分方程的自变量和因变量，可以将形式表征为
   $$\begin{aligned}
   M(x,y)\mathrm{dx}+N(x,y)\mathrm{dy}=0
   \end{aligned}\tag{16}$$
   函数$M(x,y),N(x,y)$是某矩形区域内$(x,y)$的连续函数且具有连续的一阶偏导数

   如果上式是某二元函数$u(x,y)$的全微分形式，则上式为恰当方程
   当上式为恰当方程时，满足如下性质
   $$\begin{cases}
   \frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y) \\
   \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)
   \end{cases}\tag{17}$$
   由于函数$M(x,y),N(x,y)$具有连续一阶偏导数，根据杨氏定理，二元函数$u(x,y)$的混合偏导数将相等
   $$\begin{aligned}
   \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
   \end{aligned}\tag{18}$$
   式$(18)$即为恰当方程的充要条件

   通过如下步骤寻求方程$(16)$的通解
   1.1
   $$\begin{aligned}
   let \quad u=\int M(x,y)\mathrm{dx}+\varphi(y)
   \end{aligned}$$
   1.2
   $$\begin{aligned}
   &according \quad \frac{\partial u}{\partial y}=N \\
   &N=\frac{\mathrm{d\varphi(y)}}{\mathrm{dy}}+\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{dx} \\
   &integral \quad \varphi(y)
   \end{aligned}$$
   1.3
   $$\begin{aligned}
   &The \quad Final \quad Solution \\
   &\int M(x,y)\mathrm{dx}+\int[N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{dx}]\mathrm{dy}\equiv c
   \end{aligned}\tag{19}$$
   题外话：
   可以先通过$(18)$判断方程是否满足全微分方程条件(即恰当方程)，满足条件后，可以将各微分因子进行组合积分，便可以得到通解.
   举个例子
   $$\begin{aligned}
   (3x^2+6xy^2)\mathrm{dx}+(4y^3+6yx^2)\mathrm{dy}=0
   \end{aligned}$$
   显然满足充要条件式，进行组合积分
   $$\begin{aligned}
   &\mathrm{dx^3}+3y^2\mathrm{dx^2}+\mathrm{dy^4}+3x^2\mathrm{dy^2}=0\\
   &\mathrm{d(x^3+y^4+3x^2y^2)}=0
   \end{aligned}$$
   通解即为
   $$\begin{aligned}
   x^3+y^4+3x^2y^2=c
   \end{aligned}$$

7. 积分因子
   本节的目的是将非恰当方程化为恰当方程求解
   对于非恰当方程，如果存在一个连续可微的函数$\mu(x,y)\neq 0$使得下述方程为恰当方程
   $$\begin{aligned}
   &\mu(x,y)M(x,y)\mathrm{dx}+\mu(x,y)N(x,y)\mathrm{dy}=0 \\
   &\Leftrightarrow
   \mu M\mathrm{dx}+\mu N\mathrm{dy}\equiv\mathrm{dv}
   \end{aligned}\tag{20}$$
   则称$\mu=\mu(x,y)$为方程$(16)$的积分因子

   只要方程有解存在，则方程必存在积分因子，并且积分因子不唯一.
   此时$v(x,y)=c$即为$(20)$的通解，自然也为$(16)$的通解
   根据恰当方程的充要条件$(18)$即得
   $$\begin{aligned}
   &\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} \\
   &\Leftrightarrow \\
   &N\frac{\partial \mu}{\partial x}-M\frac{\partial \mu}{\partial y}=\mu(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})
   \end{aligned}\tag{21}$$
   解析该一阶线性偏微分方程就能得到积分因子
   需要一提的是，求解积分因子一般不是容易的，为此，我们一般先假设积分因子只是x或只是y的函数，或者通过观察进行分项组合等

   一阶隐式微分方程

   一阶微分方程的隐式形式可表示为
   $$\begin{aligned}
   F(x,y,y’)=0
   \end{aligned}\tag{22}$$
   对于一些难以解出或者解出形式过于复杂的$y’$一般采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程类型.

8. 类型一
   $$\begin{aligned}
   y=f(x,\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}})
   \end{aligned}\tag{23}$$
   这里假设右端函数具有连续的一阶偏导数
   解法如下：
   $$\begin{aligned}
   &let \quad \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=p \\
   &p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}
   \end{aligned}\tag{24}$$
   这是x,p的一阶微分方程，但它的导数已经解出，可以按照前述方法得到方程的通解，进一步得到原方程参数形式的解

9. 类型二
   $$\begin{aligned}
   x=f(y,\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}})
   \end{aligned}\tag{25}$$
   方法同上

10. 类型三
    $$\begin{aligned}
    F(x,y’)=0
    \end{aligned}\tag{26}$$
    解法如下：
    $$\begin{aligned}
    &let \quad p=y’=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}
    \end{aligned}$$
    从几何角度看待问题，方程$(26)$的含义表示Oxp平面上的一条曲线，我们将曲线表示为参数方程形式
    $$\begin{cases}
    x=\varphi(t) \\
    p=\psi(t)
    \end{cases}\tag{27}$$
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{dy}=\psi(t)\varphi’(t)\mathrm{dt}
    \end{aligned}$$
    对上式积分就能得到参数形式的通解.

11. 类型四
    $$\begin{aligned}
    F(y,y’)=0
    \end{aligned}\tag{28}$$
    方法同类型三

    包络和奇解

12. 包络和奇解
    对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，这条积分曲线并不属于这方程的积分曲线族，但这条特殊积分去线上的每一点都与积分曲线族的一条曲线相切.在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，(根据定义，包络显然也是方程的解)；在微分方程里，这条特殊积分曲线所对应的解称为方程的奇解

13. 积分曲线族包络的求法
    设给定的单参数曲线族方程为
    $$\begin{aligned}
    \Phi(x,y,c)=0
    \end{aligned}\tag{29}$$
    上式中c为单参数，方程是x,y,c的连续可微函数，微分几何学研究表明曲线族$(29)$的包络包含在下面的方程组消去参数c得到的曲线中
    $$\begin{cases}
    \Phi(x,y,c)=0 \\
    \Phi_{c}’(x,y,c)=0
    \end{cases}\tag{30}$$
    得到的曲线称为c-判别曲线，需要强调的是得到的c-判别曲线中除去包络外还有其他的曲线，需要甄别

14. 奇解的详细概念
    奇解的意思是，微分方程的奇解对应的曲线上的没一点至少有方程的两条权限通过，奇解(特殊积分曲线)上的每一点解的唯一性都不成立
    根据奇解的定义可知，一阶微分方程的通解的包络一定是奇解；反之，如果方程的奇解存在，则微分方程的奇解也是微分方程通解的包络，因此为了求微分方程的包络，可以先求出方程的通解，在按2中方法求出包络

15. 微分方程解的唯一性定理
    由于涉及数学分析的知识，这里不会展开陈述，我们会将其翻译成简单的数学语言供了解
    下面讲述的微分方程解存在的唯一性定理中的一个定理，因为这个定理没有复杂的数学分析语言，下面开始表述！
    定理：如果一阶微分方程$F(x,y,y’)$

    1. 关于$x,y,y’$连续可微
    2. $\frac{\partial F}{\partial y’}\neq 0$
       则方程存在唯一解

16. 由4中定理带来的新的包络求法
    根据4中对解唯一性定理的表述，可以得出包含奇解的条件方程组：
    一阶微分方程方程形式为
    $$\begin{aligned}
    F(x,y,y’)=0
    \end{aligned}$$
    包含方程的奇解的方程组为
    $$\begin{cases}
    F(x,y,p)=0 \\
    F_{p}’(x,y,p)=0
    \end{cases}\tag{31}$$
    消去p得到的曲线方程中包含方程的奇解，同样可能存在其他的干扰曲线，需要甄别，甄别方式是，由于奇解也为微分方程的解，因此带入需要满足微分方程.
    此曲线方程称为微分方程的p-判别曲线

17. 克莱罗微分方程
    克莱罗微分方程的形式同我们在##一阶隐式微分方程中所讲述的类型一一致，下面再写一遍
    $$\begin{aligned}
    y=xp+f(p)
    \end{aligned}\tag{32}$$
    无特殊说明，下面均用$p=y’=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$来表征替代，f(p)是连续可微函数
    对式$(32)$两侧求取x的导函数并能得到：
    $$\begin{aligned}
    &p=p+x\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}+f’(p)\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}} \\
    &\Rightarrow \frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}(x+f’(p))=0 \\
    &\Rightarrow \begin{cases}
    y=cx+f(c), p=c=const \\
    \begin{cases}
    x+f’(p)=0 \\
    y=xp+f(p)
    \end{cases},x+f’(p)=0
    \end{cases}
    \end{aligned}\tag{33}$$
    可以证明，上面两个情况得到的解的最终的形式是一致的，克莱罗方程的通解是一直线族$(y=cx+f(c))$，可见只需要将p用c代替就能得到通解，该直线族的包络就是方程的奇解，包络求法参见上面的曲线族包络求法，其本质与求解微分方程包括是一致的.