常微分方程导言

常微分方程导论

常微分方程的基本概念

1. 常微分和偏微分

• 在微分方程中只存在一个自变量的称为常微分方程
• 在微分方程中多于一个自变量的称为偏微分方程
• 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数

2. 线性和非线性

• n阶常微分方程的一般形式为
  $$\begin{aligned}
  F(x,y,\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}},…,\frac{\mathrm{d^ny}}{\mathrm{dx^n}})=0
  \end{aligned}\tag{1}$$
• 如果$(1)$式的左端是y及其各阶导数的一次有理项，则称该方程为n阶线性微分方程，一般的n阶线性微分方程具有如下形式
  $$\begin{aligned}
  \frac{\mathrm{d^ny}}{\mathrm{dx^n}}+a_{1}(x)\frac{\mathrm{d^{n-1}y}}{\mathrm{dx^{n-1}}}+…+a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+a_{n}y=f(x)
  \end{aligned}\tag{2}$$
• 不满足上述形式的方程称为非线性微分方程

3. 解和隐式解(略)
4. 通解和特解(略)
5. 积分曲线和方向场

• 一阶微分方程
  $$\begin{aligned}
  \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=f(x,y)
  \end{aligned}\tag{3}$$
• 一阶微分方程的解$f(x,y)$表示xOy平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线.通解表示平面上的一族曲线，其特解为过某一点的一条积分曲线.如果一条曲线上的每一点的切线斜率$f(x,y)$都是方程的解，则此曲线为积分曲线.
• 用$f(x,y)$表示xOy平面上某区域D上各点的斜率方向，这样的区域D称为方程所定义的方向场，也称向量场
• 方向场中方向相同的曲线称为等倾斜线

6. 微分方程组

• 用两个及以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组
• 一般将n阶常微分方程写成为解出最高阶导数的形式
  $$\begin{aligned}
  z^{(n)}=g(t,z,z’,…,z^{(n-1)})
  \end{aligned}\tag{4}$$
  其中$z^{(k)}=\frac{\mathrm{d^kz}}{dt^k}$，将z及其导数视为未知函数，取变换
  $$\begin{aligned}
  y_{1}=z,y_{2}=z’,…,y_{n}=z^{n-1}
  \end{aligned}$$
  则n阶方程$(4)$可用一阶方程组替代
  $$\begin{cases}
  &\frac{\mathrm{dy_{1}}}{\mathrm{dt}}=y_{2} \\
  &\cdots \\
  &\frac{\mathrm{dy_{k}}}{dt}=y_{k+1} \\
  &\cdots \\
  &\frac{\mathrm{d_{n}}}{\mathrm{dt}}=g(t,y_{1},y_{2},…,y_{n})
  \end{cases}$$
  方程组的向量形式为
  $$\begin{aligned}
  \frac{\mathrm{d\vec{y}}}{\mathrm{dt}}=\vec{f}(t,\vec{y})
  \end{aligned}\tag{5}$$

7. 驻定、非驻定

• 如果方程组右端不包含自变量t
  $$\begin{aligned}
  \frac{\mathrm{d\vec{y}}}{\mathrm{dt}}=\vec{f}(\vec{y}),y\in D\subseteq R^n
  \end{aligned}\tag{6}$$
  则称为驻定或自治的
• 方程组包含自变量t称为非驻定或非自治的
• 对于非驻定方程$(5)$，可以引进新变量$\tau$，将方程组化为(n+1)维空间$(t,\vec{y})$的驻定方程
  $$\begin{cases}
  &\frac{\mathrm{d\vec{y}}}{\mathrm{d\tau}}=\vec{f}(t,\vec{y}) \\
  &\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{d\tau}}=1
  \end{cases}$$

8. 相空间、奇点、轨线

• 不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间
• 积分曲线在像空间中的投影称为轨线
• 驻定方程组$(6)$，方程组$\vec{f}(\vec{y})=\vec{0}$的解称为平衡解，又称为奇点
• 驻定方程的积分曲线具有特殊的性质：”时轴t”的平移不影响方向场，因此可以在空间$(x,y,t)$将方程的积分曲线投影到$(x,y)$平面上

9. 雅可比矩阵与函数相关性(略)