The Exterior Derivative

请注意,本文最近一次更新于:2022-07-25,文章内容可能已经不具有时效性,请谨慎参考

本文最后更新于:2022年7月25日星期一下午3点02分 +08:00

外微分,微分流形,lie导数


Prerequisite

高等数学回顾

  • 在正式学习外微分之前先回顾一下牛顿-莱布尼茨公式格林公式高斯公式斯托克斯公式叭,之所以要先回顾,一方面的原因是小U自己也忘得差不多了,另一方面是这几个公式对本文很重要,并且上述公式可以统一为广义斯托克斯公式

  • 牛顿-莱布尼兹公式

    $$\begin{aligned}
    \int_{a}^{b}f’(x)\mathrm{dx}=f(b)-f(a)
    \end{aligned}\tag{1}$$
    该式子的等价写法为
    $$\begin{aligned}
    \int_{[a,b]}\mathrm{df}=f(b)-f(a)
    \end{aligned}$$

  • 格林公式

    $$\begin{aligned}
    \iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{dx}\mathrm{dy}=\oint_{l}P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}
    \end{aligned}\tag{2}$$
    将上式表更为行列式写法就能得到
    $$\begin{aligned}
    \iint_{D}\begin{vmatrix}
    \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \\
    P & Q
    \end{vmatrix}\mathrm{dx}\mathrm{dy}=\oint_{\partial D}P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}
    \end{aligned}\tag{3}$$
    上式右侧视为向量内积,取
    $$\begin{aligned}
    \vec{F}=(P,Q),\mathrm{d\vec{l}}=(\mathrm{dx},\mathrm{dy})
    \end{aligned}$$
    格林公式进一步变更为
    $$\begin{aligned}
    \iint_{D}\begin{vmatrix}
    \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \\
    P & Q
    \end{vmatrix}\mathrm{dx}\mathrm{dy}=\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}
    \end{aligned}\tag{4}$$
    根据旋度公式
    $$\begin{aligned}
    \nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}
    \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\
    \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\
    P & Q & R
    \end{vmatrix}
    \end{aligned}\tag{5}$$
    在格林公式中,F没有z分量,所以在这里有
    $$\begin{aligned}
    \nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}
    \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\
    \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & 0 \\
    P & Q & 0
    \end{vmatrix}=\hat{z}\begin{vmatrix}
    \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \\
    P & Q
    \end{vmatrix}\\
    \mathrm{d\vec{S}}=\hat{z}\mathrm{dx}\mathrm{dy}=(0,0,\mathrm{dx}\mathrm{dy})
    \end{aligned}\tag{6}$$
    最终可以将格林公式改写为
    $$\begin{aligned}
    \iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{S}}=\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}
    \end{aligned}\tag{7}$$

  • 高斯公式

    $$\begin{aligned}
    \iiint_{V}=(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{dV}=\iint_{\partial V}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{dS}
    \end{aligned}\tag{8}$$
    利用类似的手段,令
    $$\begin{aligned}
    \vec{F}=(P,Q,R),\mathrm{d\vec{S}}=\mathrm{dS}(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
    \end{aligned}$$
    借助散度算符,高斯公式改写为
    $$\begin{aligned}
    \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\mathrm{dV}=\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\mathrm{\vec{S}}
    \end{aligned}\tag{9}$$
    ⚡由于渲染器不支持闭合二重积分符号,这里很无奈地使用二重积分符号来代替,请旅行者千万留心

  • 斯托克斯公式

    可以认为斯托克斯公式是格林公式的三维自然推广
    $$\begin{aligned}
    \iint_{S}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{dx}\mathrm{dy}+(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathrm{dy}\mathrm{dz}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathrm{dz}\mathrm{dx}=\oint_{\partial S}P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}+R\mathrm{dz}
    \end{aligned}\tag{10}$$
    利用同样的手段
    $$\begin{matrix}
    \vec{F}=(P,Q,R),\mathrm{d\vec{l}}=(\mathrm{dx},\mathrm{dy},\mathrm{dz})\\
    \mathrm{d\vec{S}}=\hat{x}\mathrm{dy}\mathrm{dz}+\hat{y}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\hat{z}\mathrm{dx}\mathrm{dy}
    \end{matrix}$$
    借助旋度公式就能得到
    $$\begin{aligned}
    \iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{S}}=\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}
    \end{aligned}\tag{11}$$

  • 广义斯托克斯公式

    $$\begin{aligned}
    \int_{\Omega}\mathrm{d\omega}=\int_{\partial \Omega}\omega
    \end{aligned}\tag{12}$$

流形manifold

  • 这里并不正式学习流形,只是简单说一点点常识性结论

    无论出于几维空间中,曲线称为一维流形,曲面称为二维流形,三维体称为三维流形,这于所处空间的维度无关

  • 整理一波就是
    • 只要是曲线,无论处在几维空间中,都将其称为1维流形
    • 只要是曲面,无论处在几维空间中,都将其称为2维流形
    • 只要是n维体,无论处在几维空间中,都将其称为n维流形
  • 一个简单的例子是,三维空间中的一条曲线,由于其只有一个自由度,想象生活在这条曲线上的居民,他只能沿着曲线延伸的方向移动,因此是一维流形,只不过这条曲线被嵌入了3维空间。为了描述这种现象,并且将曲线、曲面和体统一起来,我们将他们命名为流形(manifold)

楔积wedge product

  • 按惯例先回顾一波向量的各种积

    • Cross Product:叉积,又称向量积,表示为$\vec{A}\times\vec{B}$,返回一个向量
    • Inner Product:内积,又称数量积,表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}$,返回一个标量
    • Wedge Product:楔积,又称微分外乘积,表示为$\vec{A}\wedge\vec{B}$,返回有向体积
    • Tensor Product:张量积,表示为$\vec{A}\otimes\vec{B}$,返回一个矩阵
  • 楔积

    • 微分之间的乘积与常规乘法是不同的,为了区别开来,需要用新的记号来表示微分之间的乘积,我们用记号$\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}$来表示,并称之为微分的外乘积,也就是楔积

    • 微分的外乘积具有下列性质:

    1. 反交换律:$\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}=-\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dx}$
    2. $\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dx}=0$
    3. 结合律:$\mathrm{dx}\wedge(\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz})=(\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy})\wedge\mathrm{dz}$
    4. 分配律:$(\mathrm{dx}+\mathrm{dy})\wedge\mathrm{dz}=\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dz}+\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz}$
    • 多重积分的微分不再食用并列乘积的形式,而改用微分外乘积形式
      $\prod_{i=1}^{n}\mathrm{d}x_{i}=\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\cdots\mathrm{d}x_{n}$
      $\bigwedge_{i=1}^{n}\mathrm{d}x_{i}=\mathrm{d}x_{1}\wedge\mathrm{d}x_{2}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x_{n}$

    • 微分外乘积的反交换律的本质就是行列式的行列对换

    • 我们用向量的楔积表示K-维空间中的一个有向体积

    • 在三维空间中

      1. $\mathrm{d\vec{l}}=(\mathrm{dx},\mathrm{dy},\mathrm{dz})$表示与曲线方向向量通向的矢量线微元
      2. $\mathrm{d\vec{S}}=(\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz},\mathrm{dz}\wedge\mathrm{dx},\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy})$表示与曲面法向量同向的矢量面微元
      3. 因为空间只有三维,因此$\mathrm{dV}=\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz}$表示标量体积微元

外微分 Exterior Derivative

  • 总述

    如果$\omega$是一个三元函数$\omega=f(x,y,z)$,那么$\omega$被称为第零次外微分形式,其微分满足
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{d\omega}=(\nabla f)\cdot\mathrm{d\vec{l}}
    \end{aligned}\tag{13}$$

    如果设$\vec{F}=(P,Q,R)$,$\omega$是一个一维的微元$\omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}=P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}+R\mathrm{dz}$。那么$\omega$被称为第一次外微分形式,其微分满足
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{d\omega}=(\nabla\times\vec{F})\cdot(\mathrm{d\vec{S}})
    \end{aligned}\tag{14}$$

    如果设$\vec{F}=(P,Q,R)$,$\omega$是一个二维的微元
    $$\begin{aligned}
    \omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{S}}=
    \end{aligned}$$
    那么$\omega$被称为第二次外微分形式,其微分满足
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{d\omega}=(\nabla\cdot\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{V}}
    \end{aligned}\tag{15}$$

  • 外微分算符d

    • 外微分算符d作用在标量函数f上得到的结果称为一次微分形式
      $$\begin{aligned}
      \mathrm{df}=\sum_{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathrm{dx^{i}}
      \end{aligned}\tag{16}$$

    • 外微分算符作用在P次微分形式$\alpha=\sum_{I}\alpha_{I}\mathrm{dx^{I}}$上得到(P+1)次微分形式
      $$\begin{aligned}
      d\alpha=\mathrm{d}(\sum_{I}\alpha_{I}\mathrm{dx^{I}})=\sum_{i}\sum_{I}(\frac{\partial \alpha_{I}}{\partial x^{i}})\mathrm{dx^{i}}\wedge\mathrm{dx^{I}}\\
      \mathrm{dx^{I}}=\mathrm{dx^{i1}}\wedge\mathrm{dx^{i2}}\wedge\cdots\wedge\mathrm{dx^{ip}}
      \end{aligned}\tag{17}$$

    • 运算法则:设$\alpha,\beta,\gamma$分别为p,p,q次微分形式

      1. $\mathrm{d(\beta+\gamma)}=\mathrm{d\beta}+\mathrel{d\gamma}$
      2. $\mathrm{d(\alpha\wedge\beta)}=\mathrm{d\alpha}\wedge\beta+(-1)^{p}\alpha\wedge\mathrm{d\beta}$
      3. $\mathrm{d(\mathrm{d\alpha})}=0$
  • 霍奇星算子*

  • 这个玩意太深奥的,目前就只能浅浅的 读懂一小部分,就有多少写多少好啦

    • “*”运算是一个线性变换,它作用于p次微分形式而得到相应的n-p次微分形式

    $$\begin{aligned}
    *\mathrm{dx^{i}}=\frac{\sqrt{\det G}}{g_{ii}}\mathrm{dx^{I}}\\
    *\mathrm{dx^{I}}=\frac{g_{ii}}{\sqrt{\det G}}\mathrm{dx^{i}}
    \end{aligned}\tag{18}$$

    (i,I)构成偶排列(自然排列),$\det G$为矩阵G对应行列式的数值

    • 运算法则

    $$\begin{aligned}
    *1=\sqrt{\det G}\mathrm{dx^{1}}\wedge\mathrm{dx^{2}}\wedge\mathrm{dx^{3}}\\
    *(\sqrt{\det G}\mathrm{dx^{1}}\wedge\mathrm{dx^{2}}\wedge\mathrm{dx^{3}})=1
    \end{aligned}\tag{19}$$

    • 在三维欧几里得空间中有

    $$\begin{aligned}
    *\mathrm{dx}=\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz}\\
    *\mathrm{dy}=\mathrm{dz}\wedge\mathrm{dx}\\
    *\mathrm{dz}=\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}
    \end{aligned}\tag{20}$$

  • 外微分是梯度的协变微分形式

    $$\begin{aligned}
    \mathrm{du}&=\sum_{i}\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\mathrm{dx_{i}}\\
    &=\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{g_{ii}}}\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\sqrt{g_{ii}}\mathrm{dx^{i}}
    \end{aligned}\tag{21}$$
    上式右侧可以表示为向量的内积,因此可以对应出
    $$\begin{aligned}
    \nabla u=\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{g_{ii}}}\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\vec{e_{i}}
    \end{aligned}\tag{22}$$

  • *d是旋度的协变微分形式

    设$\vec{F}=(P,Q,R)$,$\omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}=P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}+R\mathrm{dz}$
    一次微分得到
    $$\begin{aligned}
    d\omega=\mathrm{dP}\wedge\mathrm{dx}+\mathrm{dQ}\wedge\mathrm{dy}+\mathrm{dR}\wedge\mathrm{dz}
    \end{aligned}\tag{23}$$
    结合P,Q,R的全微分公式以及旋度公式就能整理出
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{d\omega}=(\nabla\times\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{S}}
    \end{aligned}\tag{24}$$

  • d是散度的协变微分形式

    类似于上面的推到,令$\omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{S}}$,并结合全微分公式和散度公式就能得到到
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{d\omega}=(\nabla\cdot\vec{F})\cdot\mathrm{dV}
    \end{aligned}\tag{25}$$


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