The Exterior Derivative

外微分，微分流形，lie导数

Prerequisite

高等数学回顾

• 在正式学习外微分之前先回顾一下牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式叭，之所以要先回顾，一方面的原因是小U自己也忘得差不多了，另一方面是这几个公式对本文很重要，并且上述公式可以统一为广义斯托克斯公式

• 牛顿-莱布尼兹公式

  $$\begin{aligned}
  \int_{a}^{b}f’(x)\mathrm{dx}=f(b)-f(a)
  \end{aligned}\tag{1}$$
  该式子的等价写法为
  $$\begin{aligned}
  \int_{[a,b]}\mathrm{df}=f(b)-f(a)
  \end{aligned}$$

• 格林公式

  $$\begin{aligned}
  \iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{dx}\mathrm{dy}=\oint_{l}P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}
  \end{aligned}\tag{2}$$
  将上式表更为行列式写法就能得到
  $$\begin{aligned}
  \iint_{D}\begin{vmatrix}
  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \\
  P & Q
  \end{vmatrix}\mathrm{dx}\mathrm{dy}=\oint_{\partial D}P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}
  \end{aligned}\tag{3}$$
  上式右侧视为向量内积，取
  $$\begin{aligned}
  \vec{F}=(P,Q),\mathrm{d\vec{l}}=(\mathrm{dx},\mathrm{dy})
  \end{aligned}$$
  格林公式进一步变更为
  $$\begin{aligned}
  \iint_{D}\begin{vmatrix}
  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \\
  P & Q
  \end{vmatrix}\mathrm{dx}\mathrm{dy}=\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}
  \end{aligned}\tag{4}$$
  根据旋度公式
  $$\begin{aligned}
  \nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}
  \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\
  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\
  P & Q & R
  \end{vmatrix}
  \end{aligned}\tag{5}$$
  在格林公式中，F没有z分量，所以在这里有
  $$\begin{aligned}
  \nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}
  \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\
  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & 0 \\
  P & Q & 0
  \end{vmatrix}=\hat{z}\begin{vmatrix}
  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \\
  P & Q
  \end{vmatrix}\\
  \mathrm{d\vec{S}}=\hat{z}\mathrm{dx}\mathrm{dy}=(0,0,\mathrm{dx}\mathrm{dy})
  \end{aligned}\tag{6}$$
  最终可以将格林公式改写为
  $$\begin{aligned}
  \iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{S}}=\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}
  \end{aligned}\tag{7}$$

• 高斯公式

  $$\begin{aligned}
  \iiint_{V}=(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{dV}=\iint_{\partial V}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{dS}
  \end{aligned}\tag{8}$$
  利用类似的手段，令
  $$\begin{aligned}
  \vec{F}=(P,Q,R),\mathrm{d\vec{S}}=\mathrm{dS}(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
  \end{aligned}$$
  借助散度算符，高斯公式改写为
  $$\begin{aligned}
  \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\mathrm{dV}=\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\mathrm{\vec{S}}
  \end{aligned}\tag{9}$$
  ⚡由于渲染器不支持闭合二重积分符号，这里很无奈地使用二重积分符号来代替，请旅行者千万留心

• 斯托克斯公式

  可以认为斯托克斯公式是格林公式的三维自然推广
  $$\begin{aligned}
  \iint_{S}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{dx}\mathrm{dy}+(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathrm{dy}\mathrm{dz}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathrm{dz}\mathrm{dx}=\oint_{\partial S}P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}+R\mathrm{dz}
  \end{aligned}\tag{10}$$
  利用同样的手段
  $$\begin{matrix}
  \vec{F}=(P,Q,R),\mathrm{d\vec{l}}=(\mathrm{dx},\mathrm{dy},\mathrm{dz})\\
  \mathrm{d\vec{S}}=\hat{x}\mathrm{dy}\mathrm{dz}+\hat{y}\mathrm{dz}\mathrm{dx}+\hat{z}\mathrm{dx}\mathrm{dy}
  \end{matrix}$$
  借助旋度公式就能得到
  $$\begin{aligned}
  \iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{S}}=\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}
  \end{aligned}\tag{11}$$

• 广义斯托克斯公式

  $$\begin{aligned}
  \int_{\Omega}\mathrm{d\omega}=\int_{\partial \Omega}\omega
  \end{aligned}\tag{12}$$

流形manifold

• 这里并不正式学习流形，只是简单说一点点常识性结论

  无论出于几维空间中，曲线称为一维流形，曲面称为二维流形，三维体称为三维流形，这于所处空间的维度无关

• 整理一波就是
  • 只要是曲线，无论处在几维空间中，都将其称为1维流形
  • 只要是曲面，无论处在几维空间中，都将其称为2维流形
  • 只要是n维体，无论处在几维空间中，都将其称为n维流形
• 一个简单的例子是，三维空间中的一条曲线，由于其只有一个自由度，想象生活在这条曲线上的居民，他只能沿着曲线延伸的方向移动，因此是一维流形，只不过这条曲线被嵌入了3维空间。为了描述这种现象，并且将曲线、曲面和体统一起来，我们将他们命名为流形(manifold)

楔积wedge product

• 按惯例先回顾一波向量的各种积

  • Cross Product：叉积，又称向量积，表示为$\vec{A}\times\vec{B}$，返回一个向量
  • Inner Product：内积，又称数量积，表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}$，返回一个标量
  • Wedge Product：楔积，又称微分外乘积，表示为$\vec{A}\wedge\vec{B}$，返回有向体积
  • Tensor Product：张量积，表示为$\vec{A}\otimes\vec{B}$，返回一个矩阵

• 楔积

  • 微分之间的乘积与常规乘法是不同的，为了区别开来，需要用新的记号来表示微分之间的乘积，我们用记号$\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}$来表示，并称之为微分的外乘积，也就是楔积

  • 微分的外乘积具有下列性质：

  1. 反交换律：$\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}=-\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dx}$
  2. $\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dx}=0$
  3. 结合律：$\mathrm{dx}\wedge(\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz})=(\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy})\wedge\mathrm{dz}$
  4. 分配律：$(\mathrm{dx}+\mathrm{dy})\wedge\mathrm{dz}=\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dz}+\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz}$

  • 多重积分的微分不再食用并列乘积的形式，而改用微分外乘积形式
    $\prod_{i=1}^{n}\mathrm{d}x_{i}=\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\cdots\mathrm{d}x_{n}$
    $\bigwedge_{i=1}^{n}\mathrm{d}x_{i}=\mathrm{d}x_{1}\wedge\mathrm{d}x_{2}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x_{n}$

  • 微分外乘积的反交换律的本质就是行列式的行列对换

  • 我们用向量的楔积表示K-维空间中的一个有向体积

  • 在三维空间中

    1. $\mathrm{d\vec{l}}=(\mathrm{dx},\mathrm{dy},\mathrm{dz})$表示与曲线方向向量通向的矢量线微元
    2. $\mathrm{d\vec{S}}=(\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz},\mathrm{dz}\wedge\mathrm{dx},\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy})$表示与曲面法向量同向的矢量面微元
    3. 因为空间只有三维，因此$\mathrm{dV}=\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz}$表示标量体积微元

外微分 Exterior Derivative

• 总述

  如果$\omega$是一个三元函数$\omega=f(x,y,z)$,那么$\omega$被称为第零次外微分形式，其微分满足
  $$\begin{aligned}
  \mathrm{d\omega}=(\nabla f)\cdot\mathrm{d\vec{l}}
  \end{aligned}\tag{13}$$

  如果设$\vec{F}=(P,Q,R)$，$\omega$是一个一维的微元$\omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}=P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}+R\mathrm{dz}$。那么$\omega$被称为第一次外微分形式，其微分满足
  $$\begin{aligned}
  \mathrm{d\omega}=(\nabla\times\vec{F})\cdot(\mathrm{d\vec{S}})
  \end{aligned}\tag{14}$$

  如果设$\vec{F}=(P,Q,R)$，$\omega$是一个二维的微元
  $$\begin{aligned}
  \omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{S}}=
  \end{aligned}$$
  那么$\omega$被称为第二次外微分形式，其微分满足
  $$\begin{aligned}
  \mathrm{d\omega}=(\nabla\cdot\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{V}}
  \end{aligned}\tag{15}$$

• 外微分算符d

  • 外微分算符d作用在标量函数f上得到的结果称为一次微分形式
    $$\begin{aligned}
    \mathrm{df}=\sum_{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\mathrm{dx^{i}}
    \end{aligned}\tag{16}$$

  • 外微分算符作用在P次微分形式$\alpha=\sum_{I}\alpha_{I}\mathrm{dx^{I}}$上得到(P+1)次微分形式
    $$\begin{aligned}
    d\alpha=\mathrm{d}(\sum_{I}\alpha_{I}\mathrm{dx^{I}})=\sum_{i}\sum_{I}(\frac{\partial \alpha_{I}}{\partial x^{i}})\mathrm{dx^{i}}\wedge\mathrm{dx^{I}}\\
    \mathrm{dx^{I}}=\mathrm{dx^{i1}}\wedge\mathrm{dx^{i2}}\wedge\cdots\wedge\mathrm{dx^{ip}}
    \end{aligned}\tag{17}$$

  • 运算法则：设$\alpha,\beta,\gamma$分别为p,p,q次微分形式

    1. $\mathrm{d(\beta+\gamma)}=\mathrm{d\beta}+\mathrel{d\gamma}$
    2. $\mathrm{d(\alpha\wedge\beta)}=\mathrm{d\alpha}\wedge\beta+(-1)^{p}\alpha\wedge\mathrm{d\beta}$
    3. $\mathrm{d(\mathrm{d\alpha})}=0$

• 霍奇星算子*

• 这个玩意太深奥的，目前就只能浅浅的 读懂一小部分，就有多少写多少好啦

  • “*”运算是一个线性变换，它作用于p次微分形式而得到相应的n-p次微分形式

  $$\begin{aligned}
  *\mathrm{dx^{i}}=\frac{\sqrt{\det G}}{g_{ii}}\mathrm{dx^{I}}\\
  *\mathrm{dx^{I}}=\frac{g_{ii}}{\sqrt{\det G}}\mathrm{dx^{i}}
  \end{aligned}\tag{18}$$

  (i,I)构成偶排列(自然排列)，$\det G$为矩阵G对应行列式的数值

  • 运算法则

  $$\begin{aligned}
  *1=\sqrt{\det G}\mathrm{dx^{1}}\wedge\mathrm{dx^{2}}\wedge\mathrm{dx^{3}}\\
  *(\sqrt{\det G}\mathrm{dx^{1}}\wedge\mathrm{dx^{2}}\wedge\mathrm{dx^{3}})=1
  \end{aligned}\tag{19}$$

  • 在三维欧几里得空间中有

  $$\begin{aligned}
  *\mathrm{dx}=\mathrm{dy}\wedge\mathrm{dz}\\
  *\mathrm{dy}=\mathrm{dz}\wedge\mathrm{dx}\\
  *\mathrm{dz}=\mathrm{dx}\wedge\mathrm{dy}
  \end{aligned}\tag{20}$$

• 外微分是梯度的协变微分形式

  $$\begin{aligned}
  \mathrm{du}&=\sum_{i}\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\mathrm{dx_{i}}\\
  &=\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{g_{ii}}}\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\sqrt{g_{ii}}\mathrm{dx^{i}}
  \end{aligned}\tag{21}$$
  上式右侧可以表示为向量的内积，因此可以对应出
  $$\begin{aligned}
  \nabla u=\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{g_{ii}}}\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\vec{e_{i}}
  \end{aligned}\tag{22}$$

• *d是旋度的协变微分形式

  设$\vec{F}=(P,Q,R)$，$\omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{l}}=P\mathrm{dx}+Q\mathrm{dy}+R\mathrm{dz}$
  一次微分得到
  $$\begin{aligned}
  d\omega=\mathrm{dP}\wedge\mathrm{dx}+\mathrm{dQ}\wedge\mathrm{dy}+\mathrm{dR}\wedge\mathrm{dz}
  \end{aligned}\tag{23}$$
  结合P,Q,R的全微分公式以及旋度公式就能整理出
  $$\begin{aligned}
  \mathrm{d\omega}=(\nabla\times\vec{F})\cdot\mathrm{d\vec{S}}
  \end{aligned}\tag{24}$$

• d是散度的协变微分形式

  类似于上面的推到，令$\omega=\vec{F}\cdot\mathrm{d\vec{S}}$，并结合全微分公式和散度公式就能得到到
  $$\begin{aligned}
  \mathrm{d\omega}=(\nabla\cdot\vec{F})\cdot\mathrm{dV}
  \end{aligned}\tag{25}$$