画法几何

本文是画法几何不完全指北，旨在拯救没有空间能力的小U，画法几何，从入门到入坟，你值得拥有

投影理论

• 投影法分为中心投影和平行投影
• 平行投影具有以下基本性质：
  • 直线的投影一般仍然为直线，属于直线的点的投影仍然属于该直线的投影
  • 投影上线段长度之比等于直线上线段长度之比
  • 平行直线的投影仍然平行
• 三投影面分别称为V(垂直),H(水平),W(侧)面
• 投影面的平行线有三种：平行于V面的直线称为正平线，平行于H面的称为水平线，平行于W面的称为侧平线
• 投影面的垂直线有三种：垂直于V面的称为正垂线，垂直于H面的称为铅垂线，垂直于W面的称为侧垂线
• 重点判断点属于直线的方法
  • 若一点属于该直线，则该点的各个投影均落在直线的同面投影上
  • 若一点属于该直线上一线段，则该点将该线段等分的比例，将与在各个投影面上等分的比例一致
• 重点求线段实际长度和对投影面倾角的方法
  • 以线段的某一个投影长为直角边，以线段的两端点相对于该投影面的坐标差为另一直角边构建直角三角形，斜边即为实际长度，斜边与投影边的夹角即为倾角
  • 比如求取空间线段AB对H面的倾角和实长，则以AB在H面的投影长ab为直角边，以AB在V面投影的Z坐标差为另一直角边构成直角三角形，这样即为所求目标
• 空间中两直线的相对位置有三种：平行，相交，交叉，其中交叉的两直线不属于同一平面，又称为异面直线
• 重点判断空间两直线平行的方法
  • 空间两直线平行，则它们的同面投影必定相互平行；反之若同面投影均互相平行，则两空间直线平行
• 重点判断两直线相交的方法
  • 空间两直线相交，则同面投影必定相交，并且交点符合点的投影规律；反之若同面投影均相交且符合点的投影规律，则空间两直线相交
• 重点判断两直线交叉的方法
  • 两交叉直线的同面投影可能有1，2，3组交叉，但各组不符合点的投影规律；可能有1，2组相互平行，但不可能3组都互相平行。
• 重点判断两直线垂直的方法
  • 直角投影定理：空间垂直的两条直线，可以是相交或交叉的，当其中一条直线平行于一个投影面时，两直线在该投影面上的投影仍然保持垂直
  • 逆定理：这就是判据：若两直线相交或交叉，它们在某个投影面上的投影正交，并且其中一条直线平行于该投影面，则空间中两直线一定垂直；
  • 逆定理：空间垂直的两条直线在某一投影面上的投影正交，则至少有一条直线与该投影面平行
• 迹线就是平面与投影面的交线，用迹线表示的平面称为迹线平面，由于迹线是属于平面的直线，因此只要知道两条就能确定平面的空间位置
• 投影面垂直面有三种：垂直于H面称为铅锤面，垂直于V面称为正垂面，垂直于W面称为侧垂面
  • 在其垂直的投影面上，该平面的投影积聚为一条直线，该直线与两轴形成的夹角即为平面对其余两个投影面的倾角
• 投影面平行面有三种：平行于H面称为水平面，平行于V面称为正平面，平行于W面称为侧平面
• 重点如何做属于平面的点和直线
  • 若一点属于某平面的一条直线，则该点也属于该平面
  • 若一条直线经过属于平面的两点，则该直线也属于该平面
  • 若一直线经过属于某平面的一点且平行于属于平面的一条直线，则该直线属于该平面
• 最大斜度线是属于平面且与投影面成最大倾角的直线
  • 对H面的最大斜度线的水平投影必然垂直于该平面水平线的水平投影，V,W面类似

直线与平面位置问题

• 重点判断直线与平面平行
  • 如果直线平行于属于该平面的一条直线，则该直线平行于该平面
  • 过平面内任意一点能够做出属于该平面的一条直线，且与空间已知直线平行，则该支线平行于该平面
• 重点判断平面与平面平行
  • 属于一平面的两条相交直线与另一平面的两条相交直线平行，则两平面平行
• 相交问题的一般方法
  • 利用积聚性
  • 制作辅助平面
• 重点 一般位置直线MN与一般位置平面A交点的辅助平面做法
  • 作包含直线MN的辅助平面P
  • 求辅助平面P与平面A的交线
  • 求交线与直线MN的交点，即为所求
• 重点一般位置平面相交的做法
  • 线面角点法：在一个平面内任取两条直线，做出直线与另一平面的交点，将所得交点连线即为所求
    • 该方法的本质是求解直线与平面的交点，抓取到交点后就能实现目标
  • 三面共点法：制作辅助平面与两已知平面相交并产生两条交线，这两条交线的交点即为公共点；依次方法寻得两个公共点连线即可
• 重点直线与平面垂直
  • 直线垂直于一直平面内任意两条相交直线，则该直线垂直于该平面；过平面内任一点均能做出两条相交直线与一直只想垂直，则平面与直线垂直
• 重点平面与平面垂直
  • 一直线与某平面垂直，则包含该直线的所有平面都与该平面垂直
  • 两平面垂直，则由一个平面内一点向第二个平面作垂线，该垂线必定属于第一个平面
  • 作图时的关键显然就是寻求一条垂直于平面的直线

换面法

• 换面规则
  • 构建的新的投影面需要垂直于原来的某一个投影面
  • 构建的投影面要有利于解决问题
  • 需要进行多次换面时，不能对某一投影面连续换面
• 重点点的一次换面
  • 点的投影与保留投影的连线垂直于新轴
  • 新投影到新轴的距离等于被替换投影到旧轴的距离，实际上就是保留投影到保留投影面的距离
  • 直线的换面，显然可以等价为多个点的换面
  • 多次换面与一次换面的执行步骤一致
• 重点一般位置直线变为投影平行线
  • 方法为构建与之平行的新的投影面，新轴平行于直线在保留平面的投影，当然要注意该投影面还需要与原先某一投影面正交
  • 作图方法与点的换面一致
• 重点一般位置直线变为投影垂直线
  • 实现这个过程需要两次换面
  • 第一次环面仍然是构建投影平行线
• 重点一般位置平面变为投影垂直面
  • 构建这样一个新投影面：它与平面在保留投影面内的投影的一条直线垂直(一般做法是作空间平面的水平线，即特殊位置直线)，并且与保留投影面垂直
  • 之后按照点的换面投影方法进行
• 重点一般位置平面变为投影平行面
  • 这需要两次换面
  • 第一次仍然是做投影面垂直面
  • 第二次按照投影平行直线做法即可