⚛ 量纲分析

开年啦，寒假打工人小U很不情愿地又上线啦！
出于好玩儿优先的目的，今天我们本来看量纲分析！

Prerequisite

[1]Dimension analysis: 量纲分析
[2]Address: 设法解决
[3]Succinct: 言简意赅的
[4]Formidable: 难对付的
[5]Articulated: 清晰的
[6]Artifice: 诡计
[7]Empirical: 经验的
[8]Proposition: 观点&命题
[9]Mimic: 模仿
[10]Commutative: 交换律
[11]Associative: 结合律
[12]Premise: 前提
[13]Viscosity: 粘度
[14]Elastic: 弹性的
[15]Perpendicular: 垂直的
[16]Intrinsic: 内在的
[17]Quasi-static: 准静态的
[18]Inertial: 惯性的
[19]Negligible: 微不足道的
[20]Comprise: 组成

Introduction

量纲分析提供给了这样一种方法————在得到定量解之前，我们可以将复杂的物理问题简化.

量纲分析的主要用途是，从对任何物理系统中变量的量纲的研究中，推断出这些变量之间任何可能关系形式的某些限制。该方法具有很强的通用性和数学简洁性.

量纲分析的核心是相似的概念.作为物理学术语，相似指的是两个实际上不同的事情或现象中的某些等价性.作为数学术语，相似指的是变量的变换，这种变换会减少特定问题的独立变量数目.

量纲分析的主要用于源于其提炼能力，或将事情变得简洁.一个乍一看难以着手的问题，经过量纲分析处理后，又是就能变得毫不费力.

在一些人们已有深刻认知的问题上，我们可以用数学形式写出所有的约束定律和边界条件，我们所缺少的只是问题的解.相似性也可以通过标准化所有的方程和边界条件来推断，这是相似分析的目测形式.由于目测分析能够充分利用问题的数学规范，相比于量纲分析，目测分析可能是更强有力的工具.但当问题的方程或边界条件并不完整，量纲分析就是唯一的选择，而且它总是有用的.

量纲分析根植于，我们为描述真实世界的运行和用定量术语解释其功能所构建的技术工具的本质.爱因斯坦于9133年说，“纯粹的逻辑思维不能给我们带来有关经验世界的任何知识，所有的知识都以经验为开始并结束于它.用纯粹逻辑方法得出的命题对于现实来说是完全空洞的”.

Content

Physical properties

科学起始于对事物和事件的观察和精确描述.正是这第一步我们认知量纲分析所依据的事实————绝对的描述是不现实的.我们能所做的不过与是将一件事与另一件事相比较，以找到两件事的相似之处.例如，当我们说某物是一棵树时，我们仅仅是在表述它有一组属性————这些属性是我们认为一棵树所共有的特征.

我们的大脑已经进化到可以瞬间识别出树木的程度。但描述某物，例如树，实际上是一个复杂的事情.物理学始于将描述性过程分解为更简单的术语.一个物体，或者一件事是由长度、质量、颜色、形状、速度和时间等基本属性来描述的.这些属性都不能被绝对定义，只能通过参照物来描述.

Physical quantities and base quantities

物理量有两种类型：基本量和导出量.基本量完全由物理术语定义，并为在必要时引入的导出量提供一套完整的基础构件，基础量和导出的量一起为定量描述和分析物理世界提供了理性的基础.

一个基础量是由两种物理运算来定义的：比较运算决定两个量的属性是否相等；加法运算定义两个量求和后属性的含义

拥有相同的比较和假发运算的基础量是同一类的；拥有不同的比较和加法运算的量是不能被比较或加和的.所有物理量都是事物或事件的属性，他们本身不是事物或事件.比较和加法运算涉及对物体或事件的物理操作，比较运算和加法运算是物理运算，但它们必须具有某些特性，这些特性类似纯数的相应数学运算:
(1) 比较运算需要满足同一性(if A=B & B=C, then A=C)
(2) 加法运算必须满足交换律(A+B=B+A)，结合律(A+(B+C)=(A+B)+C)和唯一性(if A+B=C, there exists no finite D such that A+B+D=C )

Dimensional Analysis

Buckingham’s Π-theorem

量纲分析的前提是，任何有实际物理意义的方程的形式必须使实际物理量之间的关系保持有效，而不受基本单位大小的影响.量纲分析推导的是这一前提的逻辑结论.

下表出在不同单位制下一些力学量的量纲
| |Type 1|Type 2|Type 3 |
|:————————-|:—–|:—–|:—– |
|Base quantity & Dimensions|L,M,t |L,F,t |L,M,F,t|
|Some derived quantities |below |below |below |
|velocity |$Lt^{-1}$|$Lt^{-1}$|$Lt^{-1}$|
|acceleration |$Lt^{-2}$|$Lt^{-2}$|$Lt^{-2}$|
|mass |M |$Ft^2L^{-1}$|M |
|area |$L^2$ |$L^2$ |$L^2$ |
|force |$MLt^{-2}$|F |F |
|work |$ML^2t^{-2}$|FL |FL |
|stress |$ML^{-1}t^{-2}$|$FL^{-2}$|$FL^{-2}$|
|viscosity |$ML^{-1}t^{-1}$|$FL^{-2}t$|$FL^{-2}t$|

但最司空见惯的还是MLt量纲制，以后在没有强调的情况下，默认为MLt量纲制

下面阐述量纲分析的步骤
(1) 独立变量：量纲分析的第一步也是最重要的一步，就是需要首先确定一套与所求量有关的完整的独立量集合.完整的意思是，一旦这些独立量的数值确定，其他量都不能影响到所求量的数值；独立的意思是，该集合中的每个量的值可以任意改变但不会影响到集合中其他的量
(2) 考量量纲：接下来我们列出因变量和各个独立变量的量纲
对于纯粹的动力学问题，所有的物理量量纲都有如下形式
$$\begin{aligned}
[Q_{i}]=L^{\alpha}M^{\beta}t^{\gamma}
\end{aligned}$$
我们从相互独立的变量完全集中钻则一个完全的、量纲独立的子集$Q_{1}…Q_{k}$，将余下的独立变量$Q_{k+1}…Q_{n}$和因变量$Q_{0}$的量纲表示为$Q_{1}…Q_{k}$的幂乘积.所有物理量的量纲都可以表示为一组基本量纲制的幂乘积.对于所选取的子集，如果其中包含的任一物理量的量纲都无法由余下的物理量量纲表征，那么该子集就是独立的；如果完全集中的剩余物理量的量纲都能被该子集表征，则该子集是完备的.

量纲独立的子集$Q_{1}…Q_{k}$可由试验和试错确定选取，但在全集$Q_{1}…Q_{k}$中量纲独立的量的数量k对该全集是唯一的，并且不能超过在全集中基本量纲的数目.例如，如果$Q_{1}…Q_{n}$的量纲中仅包含长度、质量和时间，那么$k\le 3$

当选取好这样一个完备的、量纲独立的子集后，将因变量和剩余独立量展开成子集的幂乘积，他们将有如下形式
$$\begin{aligned}
[Q_{i}]=[Q_{1}^{Ni1}Q_{2}^{Ni2}…Q_{k}^{Nik}]
\end{aligned}$$

当$i\ge k$ 或 $i=0$ 时，指数$N_{ij}$是无量纲实数并且在多数情况下可以通过观察快速选取.

(3) 无量纲变量：现在定义剩下n-k个变量的无量纲形式，将它们分别除以$Q_{1}…Q_{k}$的幂，形式如下
$$\begin{aligned}
\Pi_{i}=\frac{Q_{k+i}}{Q_{1}^{N_{(k+i)1}}Q_{2}^{N_{(k+i)2}}…Q_{k}^{N_{(k+i)k}}} \quad i=1,2…,n-k
\end{aligned}$$
此外还有一个无量纲形式的因变量
$$\begin{aligned}
\Pi_{0}=\frac{Q_{0}}{Q_{1}^{N_{01}}Q_{2}^{N_{02}}…Q_{k}^{N_{0k}}}
\end{aligned}$$

(4) 白金汉Π定理：
根据前述内容，可以得到如下的表征
$$\begin{aligned}
Q_{0}=f(Q_{1},Q_{2},…,Q_{k})
\end{aligned}$$
显然该表征亦可以表示为
$$\begin{aligned}
\Pi_{0}=f(Q_{1},Q_{2},…,Q_{k};\Pi_{1},\Pi_{2},…,\Pi_{n-k})
\end{aligned}$$
其中的所有量除$Q_{1}…Q_{k}$外均无量纲.无量纲量的数值与基本单位的大小无关；而另一方面，$Q_{1}…Q_{k}$的值与基本单位有关，它们不能变为无量纲的形式，因为它们在量纲上彼此独立.基于任一有意义的物理方程必须在量纲上是齐次的原理，即与基本单位的大小是无关的，这要求$Q_{1}…Q_{k}$在上述方程中”必定不存在”,即
$$\begin{aligned}
\Pi_{0}=f(\Pi_{1},\Pi_{2},…,\Pi_{n-k})
\end{aligned}$$

白金汉定理：当量纲物理量之间的完整关系以无量纲形式表示时，其中出现的独立量的数量从原始的n减少到n-k，其中k是原始n中量纲独立的最大数量.

Application

假设我们要研究一个新染色的弹性球从墙上反弹回来后，是什么决定了圆形印记的直径d，下面我们按照上述四步来分析
(1) 分析独立变量
第一步是确定决定印记直径d的一组完备的独立变量.为了简单化问题，我们做出如下限制：由完全弹性材料制成的球形的、均匀的球体与墙面发生垂直碰撞，墙面是光滑、平整、坚固、厚重的，以至于碰撞过程中不会发生形变或位移.

我们可以根据经验和直觉猜测：染色球碰撞形成的彩色印迹与球的直径D、球的质量m和碰前速度V有关；此外，球的内在物理属性也会产生影响：固体力学的研究表明，完全弹性材质的物体的准静态响应，与它的杨氏模量E和泊松比$\gamma$有关；碰撞和回弹过程中的惯性效应与材质的密度$\rho$有关.

至此，我们分析认为印迹d可以表征为上述六个参量的函数
$$\begin{aligned}
d=d(D,m,V,E,\gamma,\rho)
\end{aligned}$$
这六个物理量是一个完备集，但不是独立集：比如当球的质量和直径已知后，球的密度就是已知的.考虑到这些后我们就能得到最终的完备独立集
$$\begin{aligned}
d=d(D,V,E,\rho,\gamma)
\end{aligned}$$
但注意，一个具体问题的完备独立集一般不是唯一的，但集合中的元素数目是唯一确定的.

(2) 考量量纲
上述选取的独立变量的量纲如下
$$\begin{align}
&[V]=Lt^{-1} \\
&[\rho]=ML^{-3} \\
&[D]=L \\
&[E]=ML^{-1}t^{-2} \\
&[\gamma]=1
\end{align}$$

现在需要选取一组独立变量构成一个完备的量纲独立的子集

其实就是寻求这样一个向量组————该向量组可以理解为我们在线性代数里阐述的基向量组，要求组内向量是无关的

将上述五个独立变量表示为MLt量纲制的矩阵，分析矩阵的秩发现该矩阵的秩为3.

可以选取$V,\rho,D$构成一个完备的独立集，因为这三个量的任何一个量的量纲都不能由余下的两个量表征，余下的两个量同因变量d可由所选区的子集表征.
$$\begin{aligned}
&[E]=ML^{-1}t^{-2}=ML^{-3}L^2t^{-2}=[\rho V^2] \\
&[\gamma]=1 \\
&[d]=L=[D]
\end{aligned}$$
(3) 无量纲参数
我们将余下的$E,\gamma$同因变量d进行无量纲化
$$\begin{aligned}
&\Pi_{1}=\frac{E}{\rho V^2}=\frac{ED^3}{mV^2}\\
&\Pi_{2}=\gamma \\
&\Pi_{0}=\frac{d}{D}
\end{aligned}$$
(4) 结束纷争
根据白金汉定理
$$\begin{aligned}
&\Pi_{0}=f(\Pi_{1},\Pi_{2}) \\
&\frac{d}{D}=f(\frac{E}{\rho V^2},\gamma)
\end{aligned}$$
独立变量数目从初始的5减少为2

再来一个实例，比如寻求液滴仅在自身表面张力$\gamma$作用下的振动周期T

分析认为液滴的振动周期T依赖于表面张力$\gamma$、球半径r和液滴密度$\rho$，这是三个独立变量.考虑他们的量纲
$$\begin{aligned}
&[\gamma]=Mt^{-2} \\
&[r]=L\\
&[\rho]=ML^{-3}\\
\end{aligned}$$
表示为矩阵分析其秩，显然是满秩的，因此只存在唯一的无量纲变量————即因变量T
$$\begin{aligned}
\Pi_{0}=\frac{T}{\sqrt{\frac{\rho r^3}{\gamma}}}
\end{aligned}$$

Reference

[1][Sonin A A. The Physical Basis of Dimensional Analysis，2nd Ed. Cambridge：MIT，2001]