⚛ 等价有五种写法

2022年寒假，小U将努力为大家带来一系列新鲜又好玩的小物件！

那天，鲁镇的小店，掌柜的依然是一副凶神恶煞的表情，短衫的工人依是温酒一碗，长衫的，阔绰一点的，便拎着一叠茴香豆下酒吃，云淡风轻，夕阳如初……

沉寂的气氛突然被打破，不必多言，小二便已心领神会——大抵又是那”之乎者也”的孔乙己来了罢

“读过书么？”，孔乙己突如其来的提问着实惊到了小二，点头示意，不足片刻便恢复了平静

“那你知道茴香豆的‘茴’字怎么写么？你知道‘回’字有四种写法么？”

小二不大想理会其连珠般的问题，但这问题，却好似泛起了一阵涟漪，惊到不知为何会路过小店的小U

“回字竟然有四种写法啊,有四种写法?四种等价的表示方式……等价表示……”，思索着，两旁的景色快速褪去

鲁镇消失了，小店消失了，连带着人声嬉笑和孔乙己的辩驳，只剩下低吟的声音，盘桓在时空涟漪中……

我们可以通过多样的表述方式来阐发我们在这个世界上观察到的”现象”。例如，我们可以通过变换语言的表述来达成这一想法。同样地，不同科学家对某一理论的表述也可能是多样的，最典型的例子便是艾萨克·牛顿勋爵的著述<<自然哲学之数学原理>>，该书1687年发表时全文使用拉丁语撰写；在1729年，原著的英文译本付梓；在1749年，法文译本横空出世……正因如此，我们很难认为这些不同的译本阐述的是不同科学规律的，也难以否定这些译本是对单一科学规律的再度阐述.

实际情况会更加复杂——通常情况下我们不仅仅只是在语系上做文章，我们还会采用不同的数学架构，这通常伴随着新的科学定律、新的推断模式和新的科学体系的诞生或引入。这便增大了我们对某一科学理论究竟是否可以被称为”一套新的科学理论”的判断难度，如果不是”新的理论”，那是否仅仅是对原来理论的再度表述，又是否是对原来理论的”添砖加瓦”？

考虑到纯粹文字描述的抽象性，我们从一个故事说起，说起来，故事的主人公啊，大家都还特别熟悉！
故事
这个故事的两位主人公本不是一个时代的人。

老大哥艾萨克在1727年便羽化登仙，在其仙逝将近10年，小老弟约瑟夫才于1736年出生。

这么一说，大家就都明白了，老大哥是牛顿，小老弟是拉格朗日。

1788年，Joseph·Lagrange提出了一个新的玩意儿，后世称为Lagrange Mechanics。现在我们知道但凡Newton Mechanics能解决的问题Lagrange Mechanics都能搞定，二者是Empirical Equivalent经验等价的。但两个力学体系也有差别，牛顿力学强调力作用在物体上，拉氏力学则更加关注与系统联系的能量。¹

现在的问题是Lagrange是否引入了一个新的理论，抑或Lagrange仅仅是对牛顿的再表述(或加上一些花花草草的装饰)？换言之，牛顿力学和拉格朗日力学是否是Theoretical Equivalent理论等价呢？

可以肯定的是拉格朗日力学，相比于牛顿力学，可以解决更多的问题，至少说在解决一些问题时比牛顿力学更加容易。在这个意义上，拉格朗日力学的确为经典动力学做出了新的贡献，但能否就此宣称这是一个崭新的理论呢？
经验等价
经验等价是理论等价的一种相对薄弱的形式，这句话实际阐发了经验等价和理论等价的关系，为了方便理解，我们从一个”栗子”说起

我们知道牛顿引力理论和广义相对论都能够用以描述太阳系内的行星轨道，两个理论对远离太阳的行星的轨道预测上具有高度一致性，这也包括地球轨道，但例如，在对水星轨道的描述上，二者的预测并没有高度吻合，我们通过地面望远镜是可以证实这种分歧的存在(当然广义相对论的预测是基本正确的)

也就是说，这两种理论在经验预测方面存在着分歧，它们可以通过观测或实验相互区别开来。换句话说，这些理论在经验上是不等价的，它们在任何意义上都不能被说成提供了对世界的等价描述。经验等价因此常常被认为是理论等价的最低必要条件

20世纪中的一些科学哲学家认为，经验等价也是理伦等价的充分条件，他们认为两个理论的等价意味着，当他们在相同条件下应用时会预测出同样地结果

但问题在于，确定两个明显不同的理论在经验上是等价或不等价的，往往也是一个非常微妙的问题。而且，仅仅是两个理论会对一种情况做出迥异的理论描述这一事实本身，并不意味着它们在经验上是不等价的，因为不同的描述之间可能存在一些系统性转换

我们说经验等价是理伦等价的弱形式，这意味这看似经验等价的两个理论，然而当他们在一些更加强烈的条件下应用时就不再等价。例如，两个理论或许可以做出同样地预测，但在他们认为世界是什么结构，世界上存在什么实体，或者自然法则是什么方面，他们还是有区别的

一个著名的例子是，德布罗意-玻姆导波理论（也叫玻姆力学）被广泛认为和量子理论的标准冯·诺依曼-狄拉克表述是经验等价的，但它们实际上在各种特征上具有非常大的差异，比如，在玻姆力学中，粒子总是有精确和确定的位置，而且人们在理论中进行的每一次测量最终都被理解为对位置的测量，而冯·诺依曼-狄拉克表述中，粒子从来没有确定的位置，而且一般来说，人们可以测量任何数量的不同量

经验等价薄弱的特点让许多科学哲学家意识到，我们需要一种更细致的等价概念，定义等价便在这种情况下，于20世界70年代被克拉克·格利莫尔提出——如果理论是可以互相转换的，那么它们就应该被认为是等价的²

定义等价的缺陷很明显，它要么不够充分，要么在实践中作用有限。因此到了21世纪，学界又提出了一个新的物理理论之间的等价标准，它采用的是来自范畴论的方法，因此被称为范畴等价

范畴论通常用抽象的方法处理数学概念，将这些概念变成一组组对象和态射。如果我们有两个理论，每个理论都被表示成范畴，其对象是理论模型，态射在某种合适的意义上保留了模型的结构。如果这些范畴存在一种等价关系，我们就可以说这两个理论是范畴等价的。

这种概念的关键在于，我们的许多物理理论实际上都可以被描述成某些数学结构的集合。由于数学和物理之间这种密不可分的特性，它其中包含着一条逻辑链条：如果范畴等价是数学理论之间的一种有效的等价概念，那么它可以表明，这些理论中使用到的数学结构是等价的。除此之外，如果物理理论在上述意义上是经验等价的，那么就可以得到，两个范畴等价的理论，实际上使用了等价的数学来捕捉相同的经验规律。

范畴等价可以很轻易地用于真实案例，并且提供直观、可信的判断，比如，它澄清了哈密顿力学和拉格朗日力学的等价意义。
解释等价
随着科学哲学的发展，许多人开始意识到，之前所说的那些形式上的等价标准或许行不通。

两个理论是否等价，或者说它们是不是一个基础理论的不同呈现，更重要的是在于我们如何解释这些理论。这并非一个关于理论表述的问题，而是一个关于我们的意图和解释的问题。

解释等价可以简单理解成，认为两个理论只要有相同的解释，它们就是等价的。

一些哲学家认为，两种理论是否是等价的，应该看它们是否可以模拟相同的“目标系统”，以及提供的模型是否保证得到了一样的主张和推论。当两个理论在相同的情况下能带来相同的主张和推论时，它们就应该是等价的。
对偶性
除了备受关注的“等价”概念，在过去数十年中，还有另一条平行的讨论主线，是关于那些“不同但（在某种程度上）等价”的理论的含义和意义，它被称为对偶性。

也就是说，人们可能有两种理论，每一种都可以被单独表达，但两者之间彼此又存在着某种关联。

目前，在雄心勃勃希望统一引力和粒子物理学标准模型的弦理论流行的大背景下，对相同的物理情况做出的对偶性的描述也变得尤为重要。例如，弦理论中最重要的成果AdS/CFT对偶，它联系了两种截然不同的理论。它告诉我们，五维中的引力理论和四维中的量子场论存在对偶性。

Official Original Expression
Newton’s Theory specifies the forces acting on those bodies whereas Lagrange’s Theory specifies a quantity known as Lagrangian, which is a function on possible configurations of a physical system related to the energy associated with that system.

Reference

• [1]Theoretical Equivalence in Physics,James Owen Weatherall,Department of Logic and Philosophy of Science,University of California, Irvine