考虑到MATLAB在解算数物方程中的突出优势，遂小作此文，简述基本功能.日后可能会推出MATLAB其他系列的文章，敬请期待

Matlab 基础知识

字符串和数据变量

字符串定义个数据变量分类

• 一连串的符号组合称为字符串.我们把能代表变量、场量或文件名称的特定字符串称为标识符.标识符必须由英文字母开头，后可加字母。阿拉伯数字或下划线等符号组成.简单来说变量的命名规则与众多编程语言是一致的，不再详述
• MATLAB中的数据分为三类
  1. 数值型
     包含实数、复数等数字
  2. 字符串型
     无论是数字、文字、符号还是表达式、方程式或汉字，只要用英文格式单引号加以界定，都被定义为字符串
  3. 符号型
     是专门定义的非数值量

变量名赋值和字符串显示

• 变量名的赋值
  让某个变量名等价的代表确定的一个数值、字符串或符号量，就称为给该变量名赋值.赋值自然是使用赋值号.

  1	>> 变量名=数据或已赋值的变量名

  要查询某个已赋值的变量a是什么具体变量类型，在指令框输入下面的代码

  1	>> class(a)

  输出为double、char或sym，便可知道具体的变量类型
• 永久性数值变量
  MATLAB中有一类系统预先定义好的数值变量名，称为永久性数值变量，下表列出常用的永久性数值变量名

  变量名	意义
  pi	圆周率
  INF	正无穷大
  ans	临时变量名
  eps	机器浮点运算误差限($2.2204*10^{-16}$)
  i,j	虚数单位
  NaN	不定值

• 字符串的显示
  1. 直接显示
     在指令窗直接输入单引号界定的字符串，回车则原样显示

     1 2	>> A='mat' A= mat

  2. 指令显示
     用disp指令按以下格式输入：

     1 2	>> disp('A=string') A=string

     数值矩阵及运算

     数值矩阵的创建

• 创建数值矩阵的方法
  1. 键盘输入
     键盘输入数值矩阵的元素，需要遵从以下规则
     • 矩阵的所有元素必须写于方括号内
     • 矩阵中两个元素间用空格或逗号间隔，两行之间用分号间隔或回车换行
     • 输入完一个矩阵后，若在方括号右侧不加标点符号或加写逗号，回车则会输出所创建矩阵的内容；若在方括号右侧加分号，回车后不会显示矩阵内容
     • 完成矩阵输入后，无论光标处在何处，回车都会运行该指令
     • 一个常数可以看成一行一列矩阵，也可以看成向量
  2. 指令输入
     MATLAB有一些特殊矩阵的输入指令，如下表所示

     指令	功能	指令	功能
     zeros(n)	输出n阶全零方阵	rand(n)	输出n阶均匀分布的随机方阵
     zeros(m,n)	输出m×n阶全零矩阵	rand(m,n)	输出m×n阶均匀分布随机矩阵
     ones(n)	输出n阶全1方阵	randn(n)	输出n阶正态分布随机方阵
     ones(m,n)	输出m×n阶全1矩阵	randn(m,n)	输出m×n阶正态分布随机矩阵
     eye(n)	输出n阶单位方阵	magic(n)	输出n阶魔方阵
     diag(a,k)	输出矩阵a的主对角线右移k列后构成的列向量	tril(a),triu(a)	输出矩阵a主对角线下方,上方构成的下,上三角矩阵
     flipud(a)	输出矩阵a上下翻转后的矩阵	fliplr(a)	输出矩阵a左右翻转后的矩阵
     rot90(a,k)	输出矩阵a逆时针旋转k个90°所得矩阵，默认k=1	reshape(a,m,n)	把a的k个元素重新排列，构成m×n=k阶矩阵，元素的序号不变

• 创建特殊向量的方法
  通常可用输入矩阵额方式创建向量.但是，如果向量各元素的取值构成一个等差数列，可用增量输入法创建，指令为

  1	>> t=a:h:b 或 t=(a:h:b) 或 t=[a:h:b]

  参数a,b分别为等差数列的初值和终止值，h为步长，也就是公差，公差默认为1
• 矩阵元素的标识与修改
  让一个标识符完全代表数值矩阵中的单个或部分元素，叫做矩阵的标识
  如果已经创建了一个矩阵a，则用a(m,n)表示m行n列的元素；用a(m,:)表示m行的全部元素；用a(:,n)代表矩阵a中第n列的全部元素
  修改矩阵额某个元素可用指令

  1	>> a(m,n)= new-value

数值矩阵间的数组算法

• 同型矩阵才能进行数组算法的四则运算
• 数组算法的四则运算
  A,B是两个同型复矩阵，n、s为常数，数组算法的四则运算如下表所示

  格式	算法定义	格式	算法定义
  A±B	A,B对应元素相加减	A./B或B.\A	A中各个元素除以B中对应的元素
  A.B	A,B对应元素相乘	A./s或s.\A	A中个元素都除以数s
  A.^n	A中各个元素都作n次方	s./A或A.\S	数s被矩阵A中各元素除

• 基本初等函数的数组算法
  数值矩阵作初等函数运算时就是对每个元素作初等函数运算，下面列出常用初等函数表

  指令	含义诠释	指令	含义诠释
  $\sin(x)$	略	$\cot(x)$	略
  $asin(x)$	$\arcsin(x)$	$atan(x)$	$\arctan(x)$
  $\cos(x)$	略	$\log(x)$	$\ln(x)$
  $acos(x)$	$\arccos(x)$	$\log 2(x)$	$\log_{2}{x}$
  $\sec(x)$	略	$\log 10(x)$	$\log_{10}{x}$
  $\tan(x)$	略	$\exp(x)$	$e^{x}$
  $sqrt(x)$	$\sqrt{(x)}$	$round(x)$	输出x四舍五入取整
  $\sinh(x)$	双曲正弦	$fix(x)$	输出x靠近零的整数
  $\cosh(x)$	双曲余弦	$floor(x)$	输出x靠近$-\infty$的整数
  $sign(x)$	数的正负性	$ceil(x)$	输出x靠近$\infty$的整数
  $real(x)$	x的实部	$nchoosek(n,m)$	组合数$C_n^m$
  $imag(x)$	x的虚部	$prod(m,n)$	$m(m+1)\cdots(n-1)n$
  $abs(x)$	x的绝对值或模	$sort(x)$	x升序排列
  $angle(x)$	复数x的相角	$factorial(x)$	x的阶乘
  $cumsum(x)$	x列元素累积和	$median(x)$	输出x列元素的中间值
  $cumprod(x)$	x列元素累积积	$pow2(x)$	$2^x$
  $max(x)$	x列元素最大值	$sum(x)$	输出x各列元素和
  $min(x)$	x列元素最小值	mod(x1,x2)	输出x1./x2的余数
  $mean(x)$	x列元素平均值	$prod(x)$	x列元素之积

符号矩阵及其运算

• 在进行公式推导，变换，求解代数方程和微分方程的近似解的解析解时，运算的结果往往都是字母符号表达式而不是数值，这类运算称为符号运算.
• MATLAB中专门设有进行符号运算的工具箱供以使用

  符号变量和符号表达式

• 用syms指令定义符号量(symbolic math toolbox)
  创建符号量指令syms的使用格式为

  1	>> syms a1 a2 a3 ... flag1

  这样就将a1,a2,a3等标识符定义为符号量
  1. 输入参量a1,a2,a3只能是标识符，不得是数字、函数表达式或方程
  2. 输入参量之间只能用空格分隔，不得添加任何符号
  3. 输入参量flag1是规定被定义符号量属性的，称为属性符，它可以根据需要选择下列之一
     • unreal——定义成复数型符号量
     • real——定义成实数型符号量
     • negative——定义成负实数型符号量
     • positive——定义成正实数型符号量
     • nonzero——定义成非零型符号量
     • 符号量可以省略，省略默认为unreal
  4. 把数字和定义的符号量用四则运算符连接成表达式，就称为符号表达式

用sym指令定义符号量、符号表达式

• 使用指令sym不仅可以创建符号量，还可以直接定义符号表达式，其格式为

  1	>> 标识符=sym(A,flag)

1. 输入参量A可以是数字、字符串、变量名、表达式或方程，甚至可以是已经界定成字符串的汉字，但每次只能定义一项
2. 回车后A就被定义为符号量，并赋值给等号左侧的标识符
3. 若A为字符串时，flag的可选内容完全不变，但此时选用的内容需要变为字符串，用单引号界定，例如’unreal’
4. 若A为数值时，flag可以选用下列字符之一
   • ‘d’表示A被定义成最接近的十进制浮点精确表达式(decimal)
   • ‘e’表示A被定义成带估计误差的有理表达式(estimate)
   • ‘f’表示A被定义成十六进制浮点表达式(floating)
   • ‘r’表示A被定义成最接近的有理数的表达式(rational)
   • 省略默认为r

     数值矩阵的矩阵算法

• 矩阵的加减乘法运算
  自行回顾我们在线性代数中讲述的矩阵运算，在MATLAB中的运算规则是一致的，指令简单，不再讲述啦
• 矩阵的转置，逆矩阵和左右除法
  1. 转置矩阵的求算
     • 求复数矩阵A的共轭矩阵的指令为

       1	>> conj(A)

       输出矩阵为A的共轭矩阵
     • 求复数矩阵A的共轭转置矩阵的指令为

       1

       >> A'

       输出矩阵为A的共轭转置矩阵
  2. 逆矩阵的求算
     求方阵A逆矩阵的指令为

     1

     >> inv(A)

  3. 矩阵左除
     解算矩阵方程ax=b时可得$x=a^{-1}b$，由此定义了MATLAB中的左除概念，指令为

     1

     >> x=a\b

  4. 矩阵右除
     解算矩阵方程xa=b可得$x=ba^{-1}$，由此定义了MATLAB中的右除概念，指令为

     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

     >> x=a/b ``` ## 符号矩阵的创建 - 以符号量，符号变量，符号表达式或符号方程等为元素构成的矩阵称为符号矩阵 > 符号矩阵的创建方法 - 直接创建 输入方式全同于数值矩阵的输入，只是需要先用syms指令创建符号量 - 用sym指令创建符号矩阵 用指令创建符号矩阵的格式为 ```Matlab >> sym(A)

     输入参数A可以是数值矩阵，字符串矩阵，符号量矩阵，符号量表达式，也可以是方程

符号矩阵中元素的标识、替换和修改

• 用一个标识符完全代表符号矩阵中的单个或部分元素，叫符号矩阵元素的标识
  符号矩阵元素的替换和修改，可以参照数值指针中的方法，也可以使用替换指令subs来实现，指令格式为

  1	>> B1=subs(B,old,new)

  符号矩阵的运算

  符号矩阵的四则运算和关系运算

• 符号矩阵间进行四则运算时，分矩阵算法和数组算法，运算符号和运算规则斗鱼数值矩阵的运算一致.但符号矩阵间的关系运算只有等于和不等于的概念

• 符号运算中的基本初等函数运算，与数值矩阵中的数组算法相同，只是符号矩阵作对数运算时，只有自然对数的指令

符号表达式的简化

• MATLAB中设有很多化简符号表达式的指令，下面列出用得最多得优选简化指令simple，它对输入表达式进行多种简化，最终输出最简形式，指令格式为

  1	>> simple(S)

  准印刷格式得符号表达式输出

• 用pretty指令可以输出准印刷格式，省去费时的人工整理，指令格式为

  1	>> pretty(S)

  求算与微积分有关的指令

  级数求和

• 级数求和指令symsum的使用格式为

  1	>> symsum(s,n,n0,nk)

  1. 输入参量s为级数通项的符号表达式，或由他们构成的符号矩阵
  2. 输入参数n为通项中被认定的项数变量，缺省n时默认为x，如果难以确认表达式s中的项数变量，可以使用findsym(s)查询
  3. n0和nk分别为首相和末项的系数，n0可以是小数，但步长总是为1.缺省n0和nk时，默认n0=1,nk=n-1
  4. 回车后输出通项为s的级数从第n0到第nk项的和
     例如对$ln(1+x)$的展开级数求和
     $$\begin{aligned}
     S=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{1+n}
     \end{aligned}$$

     1 2 3 4

     >> syms x n //定义符号量x,n 注意符号量间只能空格隔开 >> S = symsum((-1)^n*x^(n+1)/(n+1),n,0,inf) S= log(1+x)

     一元函数的泰勒级数展开

• 把函数f(x)展开成泰勒级数的指令是taylor，指令格式为

  1	>> taylor(f,n,'x',a)

  1. 输入参量f为待展开的函数表达式，或由他们构成的矩阵
  2. 输入参量n取正整数，代表级数的项数，输出将结果展开成最高次幂为n-1的幂级数
  3. 输入参数x为指定的变量名称
  4. 输入参数a表示函数f在x=a点展开，即展开成$(x-a)$的幂级数
  5. 缺省a时默认在x=0点展开，即成为麦克劳林级数

求函数极限的指令

• 求函数极的指令limit的指令格式为

  1	>> limit(F,x,a,'right'或'left')

  1. 输入参数F为函数或函数矩阵的符号表达式
  2. 输入参数a为趋近值
  3. 输入参数选择right时表示有极限，选择left时表示左极限
  4. limit可以嵌套使用

求导数的指令

• 求函数导数的指令diff的指令格式为

  1	>> Sn=diff(S,'v',n)

  1. 输入参数S为函数或函数矩阵的符号或字符表达式
  2. 输入参数v为求导自变量
  3. 输入参数n为求导的阶数
  4. 输出量Sn为函数S对变量v的n阶导数
  5. 明确指出不同的求导自变量，则该指令可用于对多元函数求偏导1
  6. 利用该指令还可以对复合函数求导，不过需要先用替环指令subs把中间变量代入复合函数然后求导

求积分的指令

• 求积分的指令int的指令格式为

  1	>> s=int(fun,v,a,b)

  1. 各个参量不再赘述，太显然了
  2. 该指令同样可以多重嵌套表示重积分

绘图

图形窗的分隔和图形的限幅与复制

• 图形窗的分隔
  用分隔窗口指令subplot可以使得屏幕上同时显示几幅画面，其指令格式为

  1	>> subplot(m,n,p)

  参数m,n,p均为正整数，将图形窗口按照m行n列分成m×n个画面,p是按照先行后列顺序编排的硝画面序号
  若项恢复全屏画面可以输入

  1	>> subplot(1,1,1)

• 画面的限幅
  用于规定每幅图形坐标大小的指令是axis,其使用格式为

  1	>> axis(lims)

  输入参数lims为数值矩阵

  1	lims=[xmin xmax ymin ymax zmin zmax]

• 图形的复制
  简单到略过

初等绘图方法

• 数据绘图指令
  根据实验或统计得到的数据可以画成凸显，以便于分析数据间的关系寻找规律

  1. 绘制平面图
     用指令plot可以绘制各种图，其指令格式为

     1	>> plot(X,Y,'S')

     • 参数X,Y都是n维实向量时，绘制出一条折线，n个拐点的图
     • 参数X,Y都是m×n阶实数矩阵时，可以画出n条折线.X和Y中行数相同的两组数据确定一条折线
     • 输入参数S是修饰曲线的标记符，标记出拐点的点型，曲线的线型和颜色，标记符号都需要置于单引号内，不加分隔
     • 画实线时可以在参数S后面增加线宽参数“’linewidth’,’n’”,数字n表示线宽级别，参数S可以省略
  2. 指令plot的参数扩充
     绘制平面图指令plot的参数，当需要同时画出多条折线时可以扩充，需要几条就整体添加几组参数即可,例如

     1	>> plot(X1,Y1,'S1',X2,Y2,'S2')

  3. 三维数据绘图
     三维数据绘图指令式plot3，基本原理类似不再赘述参数意义

     1	>> plot3(X,Y,Z,'S')

     控制图形画面的一些指令

• 如下表所示

  指令	功能	指令	功能
  clf	清除画布	title(‘’)	画面上侧加写引号内的文字
  hold on(off)	保留(删除)已画图形	box	画面上加画三维方框箱体线
  grid on(off)	画面上加画(删除)网格线	legend(‘’,’’,…,k)	画面上显示引号内说明文字.k=-1时写在图外;k=0时写在最佳位置;1,2,3,4时写在相应坐标象限的最外角
  xlabel(‘’)	x轴下侧添加文字	ylabel(‘’)	y轴右侧添加文字

函数绘图指令

• 二维解析函数绘图

  1	>> fplot('func',lims,'S',tol)

  • 参数lims为需要制图的变量范围
  • 参数S也可省略
  • 参数tol规定函数取值的相对误差，通常省略

• 二维隐函数绘图

  1	>> ezplot('func',lims)

• 三维隐函数绘图指令

  1 2	>> ezmesh('fun',lims) % 绘制空间网格图 >> ezsurf('fun',lims) % 绘制空间曲面图