Data processing and analysis

请注意,本文最近一次更新于:2022-03-12,文章内容可能已经不具有时效性,请谨慎参考

本文最后更新于:2022年3月12日星期六晚上6点18分 +08:00

本文旨在简单介绍与数据处理分析有关的概念和方法


误差

绝对误差

  • 绝对真误差
    误差δx=xa是与测量值同量纲的,直接反映测量值的绝对值大小和方向的误差
  • 总体方差与标准误差
    1. 无限次测量所获得的全部测量误差的平方均值σ2称为总体误差
    2. 总体误差的算术平方根称为总体标准误差。正态分布总体中每一个测量值的标准误差均为:
    σxi=[i=1nδxi2/n]12=[i=1n(xia)2/n]12
    1. 算术平均值的标准误差是标准误差σxi1n,即:
      σx¯=σxin
    2. 残差是每一个测量值与样本平均值的差,即:
      vxi=xix¯
  • 样本方差与样本标准偏差
    • 样本标准偏差
      sxi=[i=1nvxi2/(n1)]12=[i=1n(xix¯)2/(n1)]12
    • 样本方差
      样本标准偏差的平方即为样本方差
    • 算术平均值的标准偏差
      算术平均值的标准误差是样本标准偏差的sxi1n

      相对误差

  • 相对误差
    相对误差Ex等于x的测量误差与其绝对量值之比
    Ex=δxx

不确定度

直接测量下A类不确定度

  • 情况一:多次测量
    在相同条件下对某物理量进行n次测量后,应由其最佳估计值x¯作为测量结果,其A类不确定度为:
    μAx=σx¯=t(p,k)sx¯
    其自由度 k= n - 1,n是所测量的样本的个数,t(p,k)中p是置信度,根据测量时选取的置信概率和自由度经查表可以得到t(p,k)的数值.sx¯是样本的算术平均标准偏差,算术平均值的标准误差是样本标准偏差的sxi1n

  • 情况二:单次测量
    单次测量所得到的A类不确定度等于其样本标准偏差sxi
    μAx=sxi

    直接测量的B类不确定度

  • 情况一:单次测量
    单次测量的B类不确定度计算公式为:
    $$\begin{aligned}

    U_{Bx} = \Delta_x/c_{(1)}
    

    \end{aligned}$$
    其中Δx是仪器的允差,c(1)是置信概率为1时的覆盖因子,对一些完全不知道其分布的误差,均假设他们服从均匀分布.
    不同分布对应的覆盖因子数值不同:
    1. 正态分布 c(1) = 3
    2. 均匀分布 c(1) = 3

    1. 三角分布 c(1) = 6

    4. 两点分布 c(1) = 1

    1. 反正弦分布 c(1) = 2
  • 情况二:多次测量
    多次测量遵从均匀分布,设仪器的分辨率为εx,B类不确定度为:
    UBx=εx/3

间接测量不确定度估计

  • 广义方和根
    对于间接测量,我们通常采用间接合成的方式计算不确定度,其步骤如下:
    1. 求全微分,或者先取对数再继续进行全微分.
    2. 合并同一微分量的系数
    3. 逐项平方,并且将微分符号d改写为标准不确定度的符号“u”。各个平方项之间用“+”连接,最后等式两端开平方根就可以得到不确定度.
    用公式表征即为:
    UN=j=1m(Nxjuxj)2

有效数字原则

有效数字的运算法则

  1. 尾数舍入规则:
    小于5舍去,大于5进位,等于5时将尾数凑成偶数
    例如:4.1868取四位有效数字即为4.187;1.63500取三位有效数字即为1.64; 1.64500取三位有效数字即为1.64
  2. 四则运算规则:
    加减法:加减法运算采取尾数对齐的法则
    乘除法:乘除法的运算结果应比参与运算的各个分量中,有效数字位数最少的数多去一位

最常用的数据分析方法

  1. 环差法(逐差法)
  2. 最小二乘法
    b=i=1n(xix)(y,y)i=1n(xix)2=ix1y1nxyi=14xi2nx2 a=ybx.
    $$
    此外,可以借助包括Excel,mathematics,matlab等具有数据处理与分析能力的软件进行更为复杂的数据分析

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