Data processing and analysis

本文旨在简单介绍与数据处理分析有关的概念和方法

误差

绝对误差

• 绝对真误差
  误差$\delta_x = x -a$是与测量值同量纲的，直接反映测量值的绝对值大小和方向的误差
• 总体方差与标准误差
  1. 无限次测量所获得的全部测量误差的平方均值$\sigma^2$称为总体误差。
  2. 总体误差的算术平方根称为总体标准误差。正态分布总体中每一个测量值的标准误差均为：
  $$\begin{aligned} \sigma_{xi} = [\sum_{i=1}^{n}\delta^2_{xi}/n]^{\frac{1}{2}} = [\sum_{i=1}^{n}(x_i - a)^2/n]^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
  3. 算术平均值的标准误差是标准误差$\sigma_{xi}$的$\frac{1}{\sqrt{n}}$,即：
     $$\begin{aligned}
     \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_{xi}}{\sqrt{n}}
     \end{aligned}$$
  4. 残差是每一个测量值与样本平均值的差,即:
     $$\begin{aligned}
     v_{xi} = x_i - \bar{x}
     \end{aligned}$$
• 样本方差与样本标准偏差
  • 样本标准偏差
    $$\begin{aligned}
    s_{xi} = [{\sum_{i=1}^{n}v_{xi}^2}/(n-1)]^{\frac{1}{2}} = [\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2/(n-1)]^{\frac{1}{2}}
    \end{aligned}$$
  • 样本方差
    样本标准偏差的平方即为样本方差
  • 算术平均值的标准偏差
    算术平均值的标准误差是样本标准偏差的$s_{xi}$的$\frac{1}{\sqrt{n}}$

    相对误差

• 相对误差
  相对误差$E_x$等于x的测量误差与其绝对量值之比
  $$\begin{aligned} E_x = \frac{\delta_x}{x} \end{aligned}$$

不确定度

直接测量下A类不确定度

• 情况一：多次测量
  在相同条件下对某物理量进行n次测量后，应由其最佳估计值$\bar{x}作为测量结果，$其A类不确定度为：
  $$\begin{aligned}
  \mu_{Ax} = \sigma_{\bar{x}} = t(p,k)s_{\bar{x}}
  \end{aligned}$$
  其自由度 k= n - 1，n是所测量的样本的个数，t(p,k)中p是置信度，根据测量时选取的置信概率和自由度经查表可以得到t(p,k)的数值.$s_{\bar{x}}$是样本的算术平均标准偏差，算术平均值的标准误差是样本标准偏差的$s_{xi}$的$\frac{1}{\sqrt{n}}$

• 情况二：单次测量
  单次测量所得到的A类不确定度等于其样本标准偏差$s_{xi}$
  $$\begin{aligned}\mu_{Ax} = s_{xi}\end{aligned}$$

  直接测量的B类不确定度

• 情况一：单次测量
  单次测量的B类不确定度计算公式为：
  $$\begin{aligned}

  U_{Bx} = \Delta_x/c_{(1)}
  

  \end{aligned}$$
  其中$\Delta_x$是仪器的允差，$c_{(1)}$是置信概率为1时的覆盖因子，对一些完全不知道其分布的误差，均假设他们服从均匀分布.
  不同分布对应的覆盖因子数值不同：
  1. 正态分布 $c_{(1)}$ = 3
  2. 均匀分布 $c_{(1)}$ = $\sqrt{3}$

  3. 三角分布 $c_{(1)}$ = $\sqrt{6}$

  4. 两点分布 $c_{(1)}$ = 1

  5. 反正弦分布 $c_{(1)}$ = $\sqrt{2}$

• 情况二：多次测量
  多次测量遵从均匀分布，设仪器的分辨率为$\varepsilon_x$,B类不确定度为：
  $$\begin{aligned} U_{Bx} = \varepsilon_x / \sqrt{3} \end{aligned}$$

间接测量不确定度估计

• 广义方和根
  对于间接测量，我们通常采用间接合成的方式计算不确定度，其步骤如下：
  1. 求全微分，或者先取对数再继续进行全微分.
  2. 合并同一微分量的系数
  3. 逐项平方，并且将微分符号d改写为标准不确定度的符号“u”。各个平方项之间用“+”连接，最后等式两端开平方根就可以得到不确定度.
  用公式表征即为：
  $$\begin{aligned}
  U_N = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(\frac{\partial N}{\partial x_j}\cdot u_{xj})^2}
  \end{aligned}$$

有效数字原则

有效数字的运算法则

1. 尾数舍入规则：
   小于5舍去，大于5进位，等于5时将尾数凑成偶数
   例如：4.1868取四位有效数字即为4.187；1.63500取三位有效数字即为1.64; 1.64500取三位有效数字即为1.64
2. 四则运算规则：
   加减法：加减法运算采取尾数对齐的法则
   乘除法：乘除法的运算结果应比参与运算的各个分量中，有效数字位数最少的数多去一位

最常用的数据分析方法

1. 环差法(逐差法)
2. 最小二乘法
   $$\begin{array}{l}
   b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)(y,-y)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}}=\frac{\sum_{i}^{*} x_{1} y_{1}-n x y}{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}-n x^{2}} \
   a=y-b x .
   \end{array}$$
   $$
   此外，可以借助包括Excel，mathematics，matlab等具有数据处理与分析能力的软件进行更为复杂的数据分析