张量分析Ⅰ

张量代数——要命的数学知识增加了！

先说说为什么写张量分析一文，主要原因是昨天写流体力学的时候写不下去了，因为被张量拦住了。缺少数学基础的小U决定先吃了张量分析，日后再写流体力学后续

ฅʕ•̫͡•ʔฅ

张量分析Ⅰ张量代数

指标符号

A-1指标符号

• 指标：三维空间中任意一点在笛卡尔坐标系中的位置可以表示为$(x_{1},x_{2},x_{3})$，用指标符号就表示为$x_{i},i=1,2,3$;对更一般的$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}$的指标符号就表示为$x_{i},i=1,2,\cdots ,n$，n为维数
• 求和约定和哑指标：
  $$\begin{aligned}
  S=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=\sum_{j=1}^{n}a_{j}x_{j}
  \end{aligned}$$
  我们约定：
  $$\begin{aligned}
  S=a_{i}x_{i}=a_{j}x_{j}
  \end{aligned}$$
  求和指标与所用的指标字母无关，指标只能重复一次，一般用拉丁字母表示3维，希腊字母表示2维
• 自由指标
  $$\begin{aligned}
  A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}+A_{13}x_{3}=b_{1}\\
  A_{21}x_{1}+A_{22}x_{2}+A_{23}x_{3}=b_{2}\\
  A_{31}x_{1}+A_{32}x_{2}+A_{33}x_{3}=b_{3}
  \end{aligned}$$
  简写为：$A_{ij}x_{j}=b_{i}$，这里j就是哑指标，i就是自由指标，自由指标在每一项中只出现一次，一个公式中的自由指标必须相同
• Kronecker-δ符号
  克罗内克δ符号的定义为：
  $$\begin{aligned}
  \delta_{ij}=\delta_{js}=\begin{cases}
  1 \quad i=j \\
  0 \quad i\neq j
  \end{cases}
  \end{aligned}$$
  $$\begin{aligned}
  |\delta_{ij}|=\begin{vmatrix}
  \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\
  \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\
  \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33}
  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{vmatrix}=1
  \end{aligned}$$
  克罗内克符号的性质：
  $$\begin{aligned}
  &\delta_{ij}a_{j}=\delta_{i1}a_{1}+\delta_{i2}a_{2}+\delta_{i3}a_{3}=a_{i}\\
  &\delta_{im}A_{mj}=A_{ij}\\
  &\delta_{ik}\delta_{kj}=\delta_{ij}\\
  &\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3\\
  &\delta_{ij}\delta_{ij}=\delta_{ii}\delta_{jj}=3\\
  &a_{ik}\delta_{kj}=a_{ij}\\
  &a_{ij}\delta_{ij}=a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}\\
  &a_{i}\delta_{ij}=a_{j}\\
  &\vec{e_{i}}\cdot \vec{e_{j}}=\delta_{ij}
  \end{aligned}$$
• Ricci符号
  Ricci符号定义：
  $$\begin{aligned}
  e_{ijk}=\begin{cases}
  1\quad (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2),即顺序置换，逆序数为偶\\
  -1\quad (i,j,k)=(3,2,1),(2,1,3),(1,3,2),即倒序置换，逆序数为奇\\
  0\quad 当有两个或三个指标相等时
  \end{cases}
  \end{aligned}$$
  $$\begin{aligned}
  e_{ijk}=\begin{vmatrix}
  \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\
  \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\
  \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3}
  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
  \delta_{i1} & \delta_{j1} & \delta_{k1} \\
  \delta_{i2} & \delta_{j2} & \delta_{k2} \\
  \delta_{i3} & \delta_{j3} & \delta_{k3}
  \end{vmatrix}
  \end{aligned}$$
  举个例子：
  $$\begin{aligned}
  e_{321}=\begin{vmatrix}
  \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33}\\
  \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\
  \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13}
  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
  0 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0
  \end{vmatrix}=-1
  \end{aligned}$$
  Ricci符号性质
  $$\begin{aligned}
  &e_{ijk}=e_{jki}=e_{kij}\\
  &e_{ijk}e_{pqr}=\begin{vmatrix}
  \delta_{ip} & \delta_{iq} & \delta_{ir} \\
  \delta_{jp} & \delta_{jq} & \delta_{jr} \\
  \delta_{kp} & \delta_{kq} & \delta_{kr}
  \end{vmatrix}\\
  &|A|=\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{vmatrix}=e_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}
  \end{aligned}$$
  克罗内克符号与Ricci符号的联系：
  由一点点线代知识有
  $$\begin{aligned}
  e_{ijk}e_{kqr}=\begin{vmatrix}
  \delta_{iq} & \delta_{ir} \\
  \delta_{jq} & \delta_{jr}
  \end{vmatrix}=\delta_{iq}\delta_{jr}-\delta_{ir}\delta_{jq}
  \end{aligned}$$

  A-2矢量的基本运算

• 在三维空间中，任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合(不想打矢量箭头，旅行者自行注意哦)
  $$\begin{aligned}
  a=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}=a_{i}e_{i}
  \end{aligned}$$
• 矢量点积：
  $$\begin{aligned}
  a\cdot b =a_{i}e_{i}\cdot b_{j}e_{j}=a_{i}b_{j}\delta_{ij} \\
  a_{i}b_{i}=a_{j}b_{j}
  \end{aligned}$$
• 矢量叉积
  $$\begin{aligned}
  e_{i}\times e_{j}=e_{ijk}e_{k}
  \end{aligned}$$
  证明如下：
  $$\begin{aligned}
  &\because e_{i}=\delta_{ik}e_{k}\\
  &\because e_{j}=\delta_{jk}e_{k}\\
  &\therefore e_{i}\times e_{j}=\begin{vmatrix}
  \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\
  \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\
  e_{1} & e_{2} & e_{3}
  \end{vmatrix}=e_{rst}\delta_{ir}\delta_{js}e_{t}=e_{ijt}e_{t}=e_{ijk}e_{k}
  \end{aligned}$$
  叉积公式：
  $$\begin{aligned}
  a\times b&=a_{i}e_{i}\times b_{j}e_{j}=a_{i}b_{j}e_{i}\times e_{j}\\
  &=a_{i}b_{i}e_{ijk}e_{k}=e_{ijk}a_{i}b_{j}e_{k}=c_{k}e_{k}
  \end{aligned}$$
• 三矢量混合积
  $$\begin{aligned}
  a\times b\cdot c&=e_{ijk}a_{i}b_{j}e_{k}\cdot c_{r}e_{r}=e_{ijk}a_{i}b_{j}c_{r}\delta_{kr}\\
  &=e_{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}
  \end{aligned}$$
  $$\begin{aligned}
  e_{i}\times e_{j}\cdot e_{k}&=e_{ijr}e_{r}\cdot e_{k}=e_{ijk}\delta_{rk}\\&=e_{ijk}
  \end{aligned}$$
• 矢量并乘(并矢)
  $$\begin{aligned}
  &\because a=a_{i}e_{i},b=b_{j}e_{j}\\
  &\therefore ab=a_{i}e_{i}b_{j}e_{j}=a_{i}b_{j}e_{i}e_{j}\\
  &=a_{1}b_{1}e_{1}e_{1}+a_{1}b_{2}e_{1}e_{2}+a_{1}b_{3}e_{1}e_{3}\\&
  +a_{2}b_{1}e_{2}e_{1}+a_{2}b_{2}e_{2}e_{2}+a_{2}b_{3}e_{2}e_{3}\\
  &+a_{3}b_{1}e_{3}e_{1}+a_{3}b_{2}e_{3}e_{2}+a{3}b_{3}e_{3}e_{3}
  \end{aligned}$$

  A-3坐标变换与张量定义

• 坐标变换
  不想画图，旅行者可以脑补这样一个坐标系：(x,y)与(x’,y’)两个笛卡尔坐标系原点重合，其中之一坐标系对另一坐标系旋转一个角度θ，容易得到坐标之间的关系为
  $$\begin{aligned}
  &x’=x\cos\theta+y\sin\theta\\
  &y’=-x\sin\theta+y\cos\theta\\
  \Rightarrow &x=x’\cos\theta-y’\sin\theta\\
  &y=x’\sin\theta+y’\cos\theta
  \end{aligned}$$
  由此可以得到
  $$\begin{aligned}
  &x_{1’}=x_{1}\cos\theta+x_{2}\sin\theta\\
  &x_{2’}=-x_{1}\sin\theta+x_{2}\cos\theta\\
  \Rightarrow &x_{1}=x_{1’}\cos\theta-x_{2’}\sin\theta\\
  &x_{2}=x_{1’}\sin\theta+x_{2’}\cos\theta
  \end{aligned}$$
  归纳为坐标变换式：
  $$\begin{aligned}
  x_{i’}=a_{i’i}x_{i} \quad a_{i’i}=\cos(x_{i’},x_{i})\\
  x_{i}=a_{ii’}x_{i’} \quad a_{ii’}=\cos(x_{i},x_{i’})
  \end{aligned}$$
  $[a_{ii’}],[a_{i’i}]$是互逆、正交矩阵，满足：
  $$\begin{aligned}
  a_{ii’}a_{i’i}=\delta_{ij}=\begin{vmatrix}
  1 & 0\\
  0 & 1
  \end{vmatrix}
  \end{aligned}$$
  基矢量变换公式为：
  $$\begin{aligned}
  e_{i’}=a_{i’i}e_{i}\\
  e_{i}=a_{ii’}e_{i’}
  \end{aligned}$$
  任意向量变换公式为
  $$\begin{aligned}
  v_{i’}=a_{ii’}v_{i}=a_{i’i}v_{i}
  \end{aligned}$$
• 张量定义
  在坐标系变换时，满足如下变换关系的量称为张量：
  $$\begin{aligned}
  \varphi_{i’j’k’…l’}=a_{i’i}a_{j’j}a_{k’k}\cdots a_{l’l}\varphi_{ijk…l}
  \end{aligned}$$
• 张量的阶：自由指标的数目就是张量的阶
• 不变性记法：
  $$\begin{aligned}
  \varphi=\varphi_{ijk…l}e_{i}e_{j}e_{k}\cdots e_{l}
  \end{aligned}$$
• 💡张量加法
  $$\begin{aligned}
  T=A+B=(A_{i’j’}+B_{i’j’})e_{i’}e_{j’}=T_{i’j’}e_{i’}e_{j’}
  \end{aligned}$$
• 💡矢量与张量点积矢量与张量的点乘仍然为张量，新张量比原张量的阶数低一阶
  • 左点乘
    $$\begin{aligned}
    a\cdot T=a_{i}e_{i}\cdot T_{jk}e_{j}e_{k}=a_{i}T_{jk}e_{i}\cdot e_{j}e_{k}=a_{i}T_{jk}\delta_{ij}e_{k}=a_{j}T_{jk}e_{k}=b
    \end{aligned}$$
  • 右点乘
    $$\begin{aligned}
    T\cdot a=(T_{ij}e_{i}e_{j})\cdot a_{k}e_{k}=T_{ij}a_{k}e_{i}\delta_{jk}=T_{ij}a_{k}e_{i}=c
    \end{aligned}$$
  • 🔎结论 如果T不是对称张量，左点乘的结果不等于右点乘的结果&} + 💡`矢量与张量的叉积` {% emp 矢量与张量叉乘的结果仍然为张量，新张量与原张量同阶
  • 左叉乘
    $$\begin{aligned}
    a\times T&=(a_{i}e_{i})\times T_{jk}e_{j}e_{k}=a_{i}T_{jk}e_{i}\times e_{j}e_{k}=a_{i}T_{jk}e_{ijr}e_{r}e_{k}\\
    &=e_{ijr}a_{i}T_{jk}e_{r}e_{k}=A
    \end{aligned}$$
  • 右叉乘
    $$\begin{aligned}
    T\times a&=(T_{ij}e_{i}e_{j})\times a_{k}e_{k}=T_{ij}a_{k}e_{i}e_{j}\times e_{k}=T_{ij}a_{k}e_{i}e_{jkr}e_{r}\\
    &=e_{jkr}a_{k}T_{ij}e_{i}e_{r}=B
    \end{aligned}$$
• 💡两个张量的点乘两个张量点积的结果仍然为张量，新张量的阶数是原来两个张量的阶数之和减去2 $$\begin{aligned}
  A\cdot B&=(A_{ij…k}e_{i}e_{j}\cdots e_{k})\cdot (B_{rs…t}e_{r}e_{s}\cdots e_{t})\\
  &=A_{ij…k}B_{rs…t}e_{i}e_{j}\cdots\delta_{kr}e_{s}\cdots e_{t}\\
  &=A_{ij…k}B_{ks…t}e_{i}e_{j}\cdots e_{s}\cdots e_{t}=S
  \end{aligned}$$
  特别地，两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量，此时就相当于矩阵相乘
• 💡💡张量的双点积两个张量点积的结果仍然为张量，新张量的阶数是原来两个张量的阶数之和减去4 $$\begin{aligned}
  A:B&=(A_{ijk}e_{i}e_{j}e_{j})(B_{rst}e_{r}e_{s}e_{t})\\
  &=A_{ijk}e_{i}(e_{j}\cdot e_{r})B_{rst}(e_{k}\cdot e_{s})e_{t}\\
  &=A_{ijk}B_{rst}\delta_{jr}\delta_{ks}e_{i}e_{t}\\
  &=A_{ijk}B_{jkt}e_{i}e_{t}=S
  \end{aligned}$$
  由公式可以看出是$e_{j}\cdot e_{r}$与$e_{k}\cdot e_{s}$的结果
• 💡💡张量的双叉乘
  $$\begin{aligned}
  A_{\times}^{\times}B&=(A_{ijk}e_{i}e_{j}e_{k})(B_{rst}e_{r}e_{s}e_{t})\\
  &=A_{ijk}e_{i}(e_{j}\times e_{r})B_{rst}(e_{k}\times e_{s})e_{t}\\
  &=A_{ijk}e_{i}e_{jkm}e_{m}B_{rst}e_{ksn}e_{n}e_{t}\\
  &=e_{jrm}e_{ksn}A_{ijk}B_{rst}e_{i}e_{m}e_{n}e_{t}=S\\
  &S_{imnt}=e_{jrm}e_{ksn}A_{ijk}B_{rst}
  \end{aligned}$$
• 💡💡张量的缩并在张量的不变性记法中，将某两个基矢量点乘，其结果是一个较原张量低二阶的新张量，这种运算称为缩并 $$\begin{aligned}
  &A=A_{ij}e_{i}e_{j}\\
  &\dot{A}=A_{ij}e_{i}\cdot e_{j}=A_{ij}\delta_{ij}=A_{ii}=A_{11}+A{22}+A_{33}
  \end{aligned}$$
• 💡指标置换对张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量 $$\begin{aligned}
  &A=A_{ijk}e_{i}e_{j}e_{k}\\
  &A_{ijk}e_{j}e_{i}e_{k}=A_{jik}e_{i}e_{j}e_{k}=B_{ijk}e_{i}e_{j}e_{k}
  \end{aligned}$$

  A-4张量的代数运算

• 💡对称化与反对称化若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同，则称该张量关于这两个指标对称，若与原张量差一符号，则称该张量关于这两个指标反称 个人理解，这里可以理解为对称矩阵与反对称矩阵的关系，对于对称矩阵来说，其独立变量只有一侧对角线及以下的部分独立；对于反对称矩阵来说，只有一侧对角线以下的部分独立，举个例子：
  $$\begin{aligned}
  &T_{ij}=T_{ji} \quad symmetry\quad 有6个独立分量\\
  &W_{ij}=-W_{ji} \quad anti-symmetry\quad 有3个独立分量
  \end{aligned}$$
  • 🔎对称化
    对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换，并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于关于参与置换的指标为对称，将指标放在圆括弧内表示对称化运算
    $$\begin{aligned}
    &A_{(ij)}=\frac{1}{2!}(A_{ij}+A_{ji})\\
    &A_{(ijk)}=\frac{1}{3!}(A_{ijk}+A_{jki}+A_{kij}+A_{kji}+A_{jik}+A_{ikj})
    \end{aligned}$$
  • 🔎反称化
    对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换，并将其中指标进行奇次置换的新张量取反号再求算术平均值，这种运算称张量的反称化，其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示参与反称运算
    $$\begin{aligned}
    &A_{[ij]}=\frac{1}{2!}(A_{ij}-A_{ji})\\
    &A_{[ijk]}=\frac{1}{3!}(A_{ijk}+A_{jki}+A_{kij}-A_{kji}-A_{jik}-A_{ikj})
    \end{aligned}$$
    个人理解反称的符号问题，类似于计算逆序数，类似于Ricci符号的定义
• 💡💡商法则
  若在某坐标系中按某规律给出27个数$A_{ijk}$,且$A_{ijk}b_{k}=C_{ij}$,其中$b_{k}$是与$A_{ijk}$无关的任意矢量，$C_{ij}$是张量,那么$A_{ijk}$必为比$C_{ij}$高一阶的张量

A-5二阶张量(仿射量)

• 仿射张量
  $$\begin{aligned}
  \boldsymbol{B}=B_{ij}e_{i}e_{j}
  \end{aligned}$$
  $$\begin{aligned}
  \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{v}=B_{ij}e_{i}e_{j}\cdot v_{k}e_{k}=B_{ij}v_{j}e_{i}=u_{i}e_{i}=\boldsymbol{u}
  \end{aligned}$$
  B的作用如同一个算子，它使空间中每一个向量变换为另一个向量，或者说，B将一个向量空间映射为另一个向量空间
  $$\begin{aligned}
  \boldsymbol{B}\cdot(\alpha\boldsymbol{a}+\beta\boldsymbol{b})=\alpha\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{a}+\beta\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{b}
  \end{aligned}$$
• 仿射张量的转置
  $$\begin{aligned}
  &\boldsymbol{B}^{T}=B_{ij}^{T}e_{i}e_{j}\equiv B_{ji}e_{i}e_{j}\\
  &B_{ij}^{T}=B_{ji}
  \end{aligned}$$
  $$\begin{aligned}
  &B^T=B,B_{ij}=B_{ji} \quad 对称张量
  &B^{T}=-B,B_{ij}=-B_{ji} \quad 反称张量
  \end{aligned}$$
  性质：(a,b)为任意向量
  $$\begin{aligned}
  &a\cdot B\cdot b=b\cdot B^{T}\cdot a\\
  &(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\\
  &B\cdot a=a\cdot B^{T}\\
  &(A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}\\
  &(B^{T})^{T}=B\\
  &(B^{T})^{-1}=(B^{-1})^{T}
  \end{aligned}$$
• 仿射张量的逆
  $$\begin{aligned}
  &B\cdot B^{-1} = I, I=\delta_{ij}e_{i}e_{j}\\
  &I^{-1}=I\\
  &(B\cdot A)^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}\\
  &(\alpha \boldsymbol{B})^{-1}=\frac{1}{\alpha}\boldsymbol{B}^{-1}
  \end{aligned}$$
• 对称仿射量的主向和主值
  对于仿射量B，若存在三个相互垂直的方向i,j,k，其映像$B_{i},B_{j},B_{k}$也相互垂直，则称该三个方向为B的主向。对称仿射量T必存在三个主向和三个相应的主值。主值S满足如下特征方程：
  $$\begin{aligned}
  &S^3-ⅠS^2+ⅡS-Ⅲ=0\\
  &Ⅰ=T_{11}+T_{22}+T_{33}\\
  &Ⅱ=\begin{vmatrix}
  T_{11} & T_{12}\\
  T_{21} & T_{22}
  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
  T_{22} & T_{23}\\
  T_{32} & T_{33}
  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
  T_{11} & T_{13}\\
  T_{31} & T_{33}
  \end{vmatrix}\\
  &Ⅲ=\begin{vmatrix}
  T_{11} & T_{12} & T_{13}\\
  T_{21} & T_{22} & T_{23}\\
  T_{31} & T_{32} & T_{33}
  \end{vmatrix}
  \end{aligned}$$
  $$\begin{aligned}
  &S_{1}=\frac{2e}{\sqrt{3}}\sin\big(\phi+\frac{2\pi}{3}\big)+\frac{1}{3}I\\
  &S_{2}=\frac{2e}{\sqrt{3}}\sin\phi+\frac{1}{3}I\\
  &S_{3}=\frac{23}{\sqrt{3}}\sin\big(\phi-\frac{2\pi}{3}\big)+\frac{1}{3}I\\
  &\phi=\frac{1}{3}\arcsin\frac{3\sqrt{3}q}{2e^3},\phi\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\\
  &e^2=\frac{1}{3}Ⅰ^2-Ⅱ\\
  &q=-|T_{ij}-\frac{1}{3}Ⅰ\delta_{ij}|
  \end{aligned}$$
  在笛卡尔坐标系下
  $$\begin{aligned}
  &S_{1}\ge S_{2}\ge S_{3}\\
  &T=S_{1}ii+S_{2}jj+S_{3}kk
  \end{aligned}$$
• 各向同性张量
  各向同性张量指的是：在坐标任意变换时，各分量保持不变的张量零阶张量(标量)总是各向同性的，一阶张量(矢量)总不是各向同性的。对于二阶张量T，如果三个主值相等，则是各向同性的 各向同性张量满足下式：
  $$\begin{aligned}
  A_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\phi\delta_{ik}\delta_{jl}+\psi\delta_{il}\delta_{jk}
  \end{aligned}$$

特别鸣谢

• 特别鸣谢上海交通大学(SJTU)对本文的资源支持

The End