🔖 Solid State Physics I

本文旨在构建固体物理名词解释汇总

基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子

• 基元：晶体中最小的重复结构单元
• 点阵：将基元视作几何点就得到格点，格点在空间中的周期性排布称作点阵，也称晶格
• 原胞：体现晶体周期性的最小重复结构单元
• 晶胞：体现晶体周期性与对称性的最小重复结构单元
• 布拉菲格子：Bravais,能够体现晶体的平移对称性，又能反映晶体所属晶系的点对称的空间点阵
• 简单格子：基元中只含有一个原子或离子的晶体的晶格
• 复式格子：基元中含有两个或以上原子或离子的晶体的晶格

晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群

• 宏观基本对称操作：至少有一点保持不变的对称操作，且不能被进一步分解，共有8个基本对称操作，包括5个旋转操作1、2、3、4、6(绕某个轴旋转$\frac{2\pi}{n}$)，一个中心反演操作$i$，一个镜面对称操作$m$和一个旋转反演操作$\overline(4)$(即绕某个固定轴旋转$\frac{2\pi}{4}$后再进行中心反演操作)
• 点群：固定晶体中的一点，是晶体中对称操作构成的群
• 螺旋轴：绕着某个轴旋转$\frac{2\pi}{n}$后沿轴方向平移$\frac{jT}{n},j\in[1,n-1],j\in N$的复合操作，记作$n_{j}$
• 滑移面：对某个平面做镜像反映后沿着平行于镜面的某方向平移该方向周期一半的复合操作
• 空间群：晶体中所有点对称操作和平移操作的集合组成的群

晶向指数，晶面指数，Miller指数，面间距，配位数，密堆积

• 晶向指数：晶体中任意两个格点的连线构成的直线称作晶列，这两个格点对应的格式坐标取互质的三个整数$l_{1},l_{2},l_{3}$称作晶向指数，记作$[l_{1},l_{2},l_{3}]$
• 晶面指数：晶体中不共线的三个格点构成的平面称作晶面，镜面与原胞基矢相截得到三个截距，截距的倒数之比$(h_{1}:h_{2}:h_{3})$以互质的整数形式写出即为晶面指数，记作$(h_{1}h_{2}h_{3})$
• Miller指数：晶面与晶胞基矢相截得到的面指数为Miller指数，记作$(hkl)$
• 面间距：相邻的两个平行的晶面之间的距离，记作$d_{h1h2h3}$(晶面指数)或$d_{hkl}$(Miller指数)
• 配位数：空间中每个原子或离子周围最邻近的原子数或离子数
• 密堆积：将晶体中的原子视为全同的刚性球，这些全同小球具有周期性的最紧密的堆积方式称为密堆积

倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区

• 倒易点阵：又称倒格子，用$\vec{a_{i}},i\in N^{+}$表示正格子的基矢，称满足关系式$\vec{a_{i}}\cdot \vec{b_{j}}=2\pi\delta_{ij}$的基矢$\vec{b_{j}}$构成的点阵为倒易点阵
• 倒格子原胞：满足定义$\vec{a_{i}}\cdot \vec{b_{j}}=2\pi\delta_{ij}$的基矢$\vec{b_{j}}$构成的原胞即为倒格子原胞，亦称倒易点阵原胞
• 布里渊区：倒格子中倒格子原点($\Gamma$点)到最近邻格点的倒格矢的垂直平分面(线)构成的区域即为第一布里渊区，次临近为第二布里渊区，依此类推

布拉格方程，Laue方程，几何结构因子

• 布拉格方程：Bragg方程，给定波长$\lambda$后被晶面间距为d的晶面反射满足的方程为$2d\sin\theta=n\lambda$，其中$\theta$为入射光(反射光)与晶面间的夹角(即光轴夹角的余角)
• 劳埃方程：Laue方程，用$\vec{s_{0}}$表示入射波的方向，$\vec{s}$表示反射波的方向，$\vec{R_{l}}$表示某个原子的格矢，则满足$(\vec{s_{0}}-\vec{s})\cdot\vec{R}_{l}=2n\pi$的波衍射取极大
• 几何结构因子：对于一定的入射方向，晶胞中所有原子或离子沿着某个方向的散射波的波幅与一个电子的散射波的波幅之比，满足$F(hkl)=\sum_{j}f_{j}e^{iK_{h}\cdot\vec{r_{j}}}$，j表示对晶格中所有原子求和

晶体的结合能，内聚能，内能，弹性模量

• 结合能：将一个粒子从粒子系统中剥离或将粒子系统全部分开所需要的最小能量
• 内聚能：与分离成各个孤立原子的情况相比，各个原子聚合起来形成晶体后系统能量将下降$|U_{c}|$，此称为晶体的内聚能
• 内能：晶体内部所有微观粒子的所有运动形式所具有的能量的总和
• 弹性模量：设晶体的物态方程为$f(P,V,T)=0$，则$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V}_{T})$称为其弹性模量

晶格振动的简谐近似，非简谐近似，玻恩-卡门边界条件

• 简谐近似：将晶格振动的势能函数展开保留到二次项的近似操作
• 非简谐近似：为了解释热膨胀，将势函数展开到三次项，并将三次项视作微扰的近似操作
• 玻恩-卡门边界条件：将晶体中某个方向的N个原子视作由N个原子构成的圆环得到的周期性边界条件$f(r+R)=f(r)$，其中f是和晶体结构有关的任意一个函数

格波，晶格振动的色散关系，频隙，声学波，光学波，频谱分布函数

• 格波：晶体中原子在其平衡位置处的振动以平面波的形式传播，这些平面波称为格波
• 晶格振动的色散关系：振动频率$\omega$和波矢$\vec{q}$之间的函数关系$\omega=\omega(\vec{q})$
• 频隙：布里渊区边界上声学支格波和光学支格波的频率差
• 声学支格波：格波中频率比较低且频率随波矢变化较大的那部分(长波区)
• 光学支格波：格波中频率较高且频率随波矢变化较小的那部分(短波区)
• 频谱分布函数：$\omega$到$\omega+\mathrm{d\omega}$之间单位体积单位频率间隔的格波数目，记作$g(\omega)$

声子，声子热平衡分布，声子碰撞的正常过程和倒逆过程

• 声子：格波的能量量子
• 声子热平衡分布：声子是玻色子，服从玻色-爱因斯坦分布，因而在温度为T时具有能量$\hbar\omega_{q}$的声子数目为$\overline{n}{q}=\frac{1}{(e^{\frac{\hbar\omega{q}}{k_{B}T}}-1)}$
• 声子碰撞的正常过程和倒逆过程：绳子的碰撞需要满足准动量守恒：$\hbar q_{1}+\hbar q_{2}=\hbar q_{3}+K_{h}$，如果$K_{h}$为零，称其为正常过程，否则称为反常过程，或者倒逆过程

晶格振动的比热，徳拜模型，爱因斯坦模型，热膨胀，热传导

• 晶格振动的比热：单温温度变化导致的晶格能量变化，在高温情况下近似为常数，在低温情况下和温度的三次方成正比
• 徳拜模型：Debye模型，在低温情况下会有很多低频长波声子，因此可以将晶格振动视为连续介质弹性波，振动频率存在某个上限(即德拜频率)，色散关系取$\omega=v_{p}\vec{q}$
• Einstein模型：将N个原子组成的固体视为3N个谐振子组成，这些谐振子的频率均为$\omega_{E}$，能量均为$\hbar\omega_{E}$
• 热膨胀：在恒压条件下晶体体积随温度的变化
• 热传导：因为温度梯度导致的热的传递作用，热能流密度和温度梯度成正比，方向相反，系数为热导率，即$Q=-K\nabla T$(傅里叶传导定律)

费米分布，费米能，电子态密度，自由电子比热

• 费米分布：费米子遵循费米-狄拉克分布：$f(E)=\frac{1}{e^{\frac{E-\mu}{k_{B}T}}+1}$，其中$\mu$为化学势
• 费米能：费米子在绝对零度时具有的化学势，也是基态下费米子具有的最高能量
• 电子态密度：晶体单位体积中每单位能量间隔内电子的状态数
• 自由电子比热：$c_{e}=v\frac{\pi^2}{2}\frac{k_{B}T}{E_[F]}k_{B}$，$n=1$时为单电子比热，$E_{F}$为费米能

布洛赫波，布洛赫定理，自由电子近似，近自由电子近似，紧束缚近似

• 布洛赫波：周期性势场中电子的波函数满足Bloch定理，称为Bloch波
• 布洛赫定理：Bloch定理，周期性势场中电子的波函数可以表示为周期调幅平面波，即$\psi_{k}(\vec{r})=e^{i\vec{k}\vec{r}}u_{k}(\vec{r})$，其中$u_{k}(\vec{r}+\vec{R_{l}})=u_{k}(\vec{r})$
• 自由电子近似：将晶体内的正电荷视作均匀分布，电子视作自由电子气
• 近自由电子近似：势场$V(\vec{r})$随空间变化不是很强烈时，将$V(\vec{r})$的空间起伏视作对自由电子的微扰的近似方式，金属中外层电子可以视作是近自由的
• 紧束缚近似：对于金属的内层电子或者非导体中的电子，原本束缚在源自周围的电子的状态和孤立原子中电子的状态比较接近，将电子的波函数用孤立原子中电子的波函数进行展开，即将孤立原子中电子的波函数用作试探函数的近似方式

电子能带理论的三个前提，能带，能隙，价带，导带

• 三个前提：
  • 绝热近似：认为离子的运动对电子无影响，忽略粒子的哈密顿量$H_{i}$
  • 单电子近似：选用单电子的波函数作为试探函数，利用变分法和迭代法求解
  • 周期场近似：将电子和离子的相互作用，电子和电子之间的相互作用用一个周期势场表示
• 能带：当原子处在孤立状态时，其电子能级可以用一根线来表示；当若干原子相互靠近时，能级组成一束线；当大量原子共存于内部结构规律的晶体当中时，密集的能级就变味了分段连续的条带，称为能带
• 能隙：能带与能带之间没有能量分布的部分称为禁带，禁带的宽度称为能隙
• 价带：所有状态都被填满的能带称作满带，最上面的满带称为价带，或者将参与成键的能带叫做价带，亦或者将价电子所处的能带叫做价带
• 导带：电子部分填充的能带称为导带

电子运动的准经典近似，电子的准动量，有效质量

• 准经典近似：晶体中电子的状态用量子力学描述，而在外场中的运动用经典力学描述的近似方式(电子在外场中的行为和外场下具有等效质量的带电粒子一致)
• 准动量：将$\hbar\vec{k}$称作电子的准动量，因为$\vec{k}$可以相差任意倒格矢，从而只能精确到$\hbar\vec{K_{h}}$，而且因为布洛赫波函数不是动量算符的本征函数，因此准动量也不是动量的平均值，仅仅是因为它形式上满足牛顿第二定律
• 有效质量：晶体中歪点子在外场下的作用和一质量为$m*$的自由粒子运动一致，具有$\vec{a}=\frac{F}{m^{}}$的加速度响应，称$m^{}$为有效质量，这是一个张量，因而一般情况下应该写成$\vec{F}=m^{*}\vec{a}$

• 为什么晶体没有五次旋转轴
  • 五次旋转轴不满足平移对称性的要求，类似地，晶体没有六次以上的旋转对称操作
• 七大晶系的划分依据
  • 根据晶格的基矢取向和长度的不同进行划分，对于晶胞，则是依据晶胞参数$(\alpha,\beta,\gamma,a,b,c)$的不同进行区分
• 为什么布拉菲格子没有底心四角或面心四角
  • 底心四角格子可以通过重新选择基矢变为简单四角，而面心四角可以通过重新选择基矢转化为体心四角格子
• 在面心立方和体心立方结构中，面原子密度最大的晶面是哪族晶面，线原子密度最大的方向是什么晶向
  • 免息立方中面密度最大的面是(110)面，先密度最大的方向是[111]方向；体心立方面密度最大的面是(111)面，线密度最大的方向是[110]方向
• 为何无法用可见光分析晶体结构
  • 可见光的分辨极限在$10^2nm$级别，晶体结构的数量级为$\dot{A}$，无法产生明显的衍射现象
• 根据结合力的不同，晶体可被分为几种结合类型，分别是什么，基本特性如何
  • 可以分为五种结合类型，即离子晶体、分子晶体、共价晶体、金属晶体、氢键晶体
  • 离子晶体靠强键离子键结合，质地硬而脆，有较高的熔沸点，比较稳定
  • 分子晶体靠范德瓦尔斯力结合，结合力弱，分子间作用力大小决定晶体的物理性质，作用力越大，熔沸点越高，硬度越大，配位数越大，晶体内部原子排布越紧密，晶体越稳定
  • 公家晶体靠强键共价键结合，共价键的饱和性决定其配位数只能等与原子的共价键数，晶体具体的结构决定于共价键的方向性
  • 金属晶体靠金属键结合，其配位数比较大，能导电，具有良好的延展性
  • 氢键晶体靠氢键结合，结合能一般较低，且氢键具有饱和性
• 晶体中排斥力的主要来源是什么
  • 泡利不相容原理带来的排斥力和库仑斥力
• 固体宏观弹性的围观本质是什么
  • 原子之间的相互作用
• 求晶格振动谱时为什么选择周期性边界条件
  • 晶格本身的对称性对此产生的要求，并且计算求解方便
• 声子碰撞中动量守恒和能量守恒分别表示什么含义
  • 动量守恒反映晶体的平移对称性，能量守恒反映时间的平移对称性，是能量守恒定律的基本要求
• 为什么说热膨胀由非简谐效应产生，热膨胀系数与什么因素有关
  • 简谐近似下原子之间的相互作用是距离的二次函数，随着温度上升，原子振动加剧但平衡位置始终不变，不会出现热膨胀，因此产生热膨胀一定要考虑非简谐效应
  • 热膨胀系数$\alpha=\frac{\gamma c_{V}}{B}$，$\gamma$是艾格林森常数，$B$是体变模量，$c_{V}$是单位体积热容
• 晶体中的热传导系数在高温和低温时对温度的依赖关系是怎样的
  • 在分子动理论下，热传导系数满足$\kappa=\frac{cvl}{3}$，$v$是声速，$c$是晶格比热，$l$是平均自由程，按照徳拜模型，在高温下晶格比热为常数，在低温下比热正比于温度的三次方，高温下可以忽略声子和边界的现货恩转，纯净材料可以忽略声子和杂志的碰撞，因此平均自由程$l\propto T{-1}$，从而$\kappa\propto T^{-1}$，在低温情况下，平均自由程和$e^{\frac{T_{o}}{T}}$成正比，因此$\kappa\propto T^3e^{\frac{T_{o}}{T}}$，随着温度进一步降低将逐渐趋于1，从而$\kappa\propto T^3$
• 温度一定时，光学波的声子数多还是声学波的声子数多
  • 绳子满足玻色-爱因斯坦分布，其能量为$\hbar\omega$的声子平均数目为
    $$\begin{aligned}
    \overline{n}(\omega)=\frac{1}{e^{\frac{\hbar\omega}{k_{B}T}}+1}
    \end{aligned}$$
    是频率的减函数，声学波是低频声子，光学波是高频声子，因此声学波平均声子数更多
• 简述黄昆方程的物理意义
  • 黄昆方程为
    $$\begin{aligned}
    \ddot{\vec{W}}=b_{11}\vec{W}+b_{12}\vec{E}\\
    \vec{P}=b_{21}\vec{W}+b_{22}\vec{E}
    \end{aligned}$$
    是描述长光频波与电磁常耦合的基本方程
    $b_{11}$衡量正负离子相对位移带来的固有恢复力，$b_{12}$描述电场带来的附加恢复力，$b_{21}$描述相对位置带来的极化，$b_{22}$描述电场带来的极化
• 为什么长声学格波等效于连续介质弹性波
  • 由于声学格波的色散关系在低频下与波矢成正比，具有$\omega=v_{p}\vec{q}$的形式，满足连续介质弹性波的色散关系
• 为什么说长光学横波的能量量子为电磁耦合子
  • 因为长光学横波能够和电磁场相互耦合
• LST关系是什么，物理意义是什么，$\omega_{T}$趋于零极限会发生什么
  • LST的关系为
    $$\begin{aligned}
    \frac{\omega_{TO}^2}{\omega_{LO}^2}=\frac{\varepsilon(\omega=\infty)}{\varepsilon(\omega=0)}
    \end{aligned}$$
    它表明由于低频介电常数一般大于高频介电常数，因而长光学横波的频率小于长光学纵波的频率，当$\omega_{T}->0$时真空介电常数区域无穷，表明晶体出现自极化现象
• 自由电子的费米能和哪些因素有关
  • 自由电子的费米能为
    $$\begin{aligned}
    E_{F}=\frac{\hbar^2}{2m}(k_{d}\frac{N}{D_{d}})^{\frac{2}{d}}
    \end{aligned}$$
    $d=1,2,3$为维度数，$k_{1}=\frac{\pi}{2}$，$k_{2}=2\pi$，$k_{3}=3\pi^2$是和维度有关的常数，$D_{d}$是$d$维测度，$D_{1}=L,D_{2}=S,D_{3}=V$，由此可以看出自由电子的费米能主要和电子数密度有关
• 写出一，二，三维度自由电子的态密度和能量间的关系式
  • 按顺序如下
    $$\begin{aligned}
    g_{d}(E)=k_{d}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{d}{2}}\frac{D_{d}}{\pi}E^{\frac{d}{2}-1}
    \end{aligned}$$
    其中$k_{1}=1,k_{2}=\frac{1}{2},k_{3}=4\pi^2$
• 低温下固体的比热和温度的关系如何，为什么只有费米面附近的电子对比热有贡献
  • 低温下固体的比热为$c_{v}=c_{e}+c_{ph},c_{e}\propto T,c_{ph}\propto T^3$.由于电子在能态中的分布受到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子能够吸收热量热激发到费米面以外的空状态，因此只有这部分电子能吸收热量，对比热有贡献
• 周期场中运动的电子，在布里渊区边界，波矢和速度分别满足什么方程
  • 波矢满足$(\vec{k}+\frac{1}{2}\vec{K_{h}})\cdot\vec{K_{h}}=0$，速度满足$\vec{v}\times\vec{K_{h}}=0$
• 为什么周期场中电子的能量是波矢的偶函数和周期函数
  • 哈密顿算符和平移算符对易，进而得到哈密顿算符的本征值是周期函数，而Bloch波函数是平移算符的本征函数，于是Bloch波函数满足$\psi_{-k}(r)=\psi_{k}(r)^{*}$，于是电子的能量是波矢的偶函数
• 一条能带能填充多少个电子
  • 2N个，N是原胞数目
• 引入电子有效质量的目的是什么
  • 有效质量涵盖了电子在晶体内部势场下的运动，因此在考虑问题是，引入有效质量可以只考虑电子啊在外场下的作用
• 有效质量为负有什么意义么，与能带宽窄什么关系
  • 负有效质量意味着外场作用在点子上，电子的动量增加但速度减小，描述了电子在布里渊边界上被晶格反射的过程，窄能带的有效质量比较大
• 在准经典近似下电子准动量遵循的方程
  • $\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{dt}}=\vec{v}\cdot\vec{p}$
• 试用能带理论解释硅为半导体，二价碱土金属为导体
  • 二价碱土金属的外层电子排布为$ns^2$，原则上最外层为满带，不能导电，但因为碱土金属的各向异性，2p轨道的部分能量小于2s轨道能量，因此部分电子将优先填充2p轨道，这就形成导带，从而碱土金属是导体
  • 硅的电子排布为$3s^23p^2$，共4N个轨道，可以填充8N个电子，实际价电子只有4N个，理论上应当是半满的导体，但实际上由于其价带轨道会重新组合形成$sp^3$杂化轨道，这些轨道在一定距离会分成上下两个能带，分别能够填充4N个电子，原则上可以填满下面的能带形成满带，因此Si当是绝缘的，但是因为Si的能带带隙比较小，电子容易通过热激发到价带上形成导带，因此Si是半导体
• 空穴的物理量和电子的物理量是什么对应关系
  • 空穴带正电荷e，速度等于该电子速度，有效质量是对应电子有效质量的相反数，对应的波矢也是波矢的相反数，能量也是对应电子能量的相反数
• 金属电导率与什么因素有关，其电阻和温度的关系如何
  • 金属的电导率$\sigma=\frac{ne^2l}{mv_{F}}$，$l$是平均自由程，$v_{F}$为费米速度，平均自由程和温度有关
  • 金属的电阻率满足马西森定则,$\rho=\rho_{0}+\rho_{L}$ 其中$\rho_{0}$表示杂质和缺陷对电子的散射引起的电阻率, 即剩余电阻率, 与温度无关, $\rho_{L}$是晶格振动或者声子对电子的散射引起的电阻率, 和温度有关, 称作本征电阻率,在室温和高温区间,$\rho_{L}\sim T$,而低温情况下$\rho_{L}\sim T^5$
• 什么是朗道能级
  • 晶体在外磁场作用下晶体电子磁场量子化所形成的能级

DAMTP,CambridgeSolidState

THE END