Fluid Dynamics

流体力学，从善如流

流体力学不是小U的专长，本文的诞生主要归因于小U这几天正在撰写的
《奇怪的物理知识增加啦》
系列科普小文中有很多好玩的现象都与之有关，这大大激发了小U探索陌生领域的兴趣。本着严谨求知的科学探索准则，小U决定需要浅浅地了解更加深层的机理，一起来看看叭
ฅʕ•̫͡•ʔฅ

流体基础知识

• 流体：在任何微小的剪切力的作用下都能够发生联系变形的物质称为流体。通俗的说法就是能够流动的物质就叫流体
• 流体具有易流动性、易变形性、粘性、可压缩性、膨胀性
  • 易流动性：fluidity，相比于固体，流体间的分子作用力小，不容易像固体一样保持一定的形状，只要外界施加作用力或能量不平衡就容易发生流动
  • 易变形性：deformability，在受到剪切力持续作用时，不同于固体微小或有限的变形，流体能产生很大的变形。当剪切力停止作用时，固体的变形一般能完全或部分恢复，流体则不作任何恢复。在弹性范围内，固体变形遵从胡克定律，固体内切应力由切应变(剪切变形量)决定；流体的切应力由切变率(变形速度)决定，而与变形量无关，遵从牛顿内摩擦定律
  • 粘性：viscosity，当相邻两层流体之间发生相对运动时，在两层流体的接触面会产生对变形的抵抗力，不同于固体，这种抵抗力与流体变形大小无关，而与流体的变形速度成比例。流体这种抵抗变形的特性就称为粘性。
    进一步说，流体的粘性是由内摩擦产生的，是两层流体间分子内聚力和分子动量交换的宏观表现。液体粘性主要取决于分子间引力，气体粘性主要取决于分子热运动，这种流体流动时产生内摩擦力的性质就是流体的粘性，由牛顿提出，库伦证实
    • 固体：固体表面之间的摩擦是滑动摩擦力，与固体表面性质有关
    • 液体：两层液体相对运动时，两层液体分子的平均距离增大，吸引力随之增大，这就是分子内聚力
    • 气体：气体分子的随机运动范围大，流层之间分子交换频繁，流层之间分子交换动量表现为力的作用，称为表观切应力
    • 💡壁面无滑移条件：np-slip condition，由于流体的易变形性，流体与固壁可实现分子量级的黏附，通过分子内聚力实现与固壁一起运动，达到表面无滑移
    • 💡牛顿内摩擦定律：又称牛顿粘性定律，指粘性切应力与速度梯度成正比，比例系数称为粘性系数，也称动力粘度
      $$\begin{aligned}
      \tau =\mu\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}}
      \end{aligned}$$
    • 表观粘度是剪切应力对剪切率的比值
    • 💡粘度一般仅仅跟随温度变化，液体温度升高粘度减小，气体温度升高粘度增大。常温常压下水的动力粘度是空气粘性的55.4倍
  • 可压缩性：compressibility，在一定的温度下，单位压强增量引起的单位质量流体体积的变化率定义为流体的压缩性系数k，数值越大流体越容易压缩。体积弹性模量K是压缩系数的倒数
    $$\begin{aligned}
    k=-\frac{\frac{\mathrm{dV}}{V}}{\mathrel{dP}}
    \end{aligned}$$
  • 流体的密度：单位体积内流体所具有的质量，表征流体在空间中的密集程度
    $$\begin{aligned}
    \rho=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Delta m}{\Delta V}
    \end{aligned}$$
  • 比容V：密度的倒数，由比容可以得到流体压缩性系数的另一种表示：
    $$\begin{aligned}
    \because V=\frac{1}{\rho}\\
    \therefore \mathrm{d(V\rho)}=\rho\mathrm{dV}+V\mathrm{d\rho}=0\\
    \therefore k=-\frac{\mathrm{dV}}{V\mathrm{dp}}=\frac{\mathrm{d\rho}}{\rho\mathrm{dp}}
    \end{aligned}$$
  • 膨胀性：dilatability，当压强一定时，流体温度变化使体积改变的性质称为流体的膨胀性，膨胀性的大小用膨胀系数表示
    $$\begin{aligned}
    \beta=\frac{\frac{\mathrm{dV}}{V}}{\mathrm{dT}}=-\frac{\mathrm{d\rho}}{\rho\mathrm{dT}}
    \end{aligned}$$
• 压缩性系数和膨胀系数为零的流体称为不可压缩流体。`不可压缩流体`的密度不随温度和压强改变。通常将气体视为可压缩流体而液体视为不可压缩流体。
• 连续介质模型：将流体视为无穷多稠密的、没有间隙的流体质点构成的连续介质，表征流体宏观状态的物理量在空间和时间上都是连续分布的，可以视为空间和时间的连续函数，流体质点是包含足够多流体分子的微团
• 💡非牛顿流体
  • 牛顿流体遵从牛顿内摩擦定律，其剪切力与切边率满足线性关系；而非牛顿流体的剪切力与切边率之间不满足线性关系，不遵从牛顿内摩擦定律
  • 常见的牛顿流体有水、空气、甘油、汽油；常见的非牛顿流体有泥浆、牙膏、血液、胶体、熔体
  • 粘性流体可如下分类，下面类别中除了牛顿流体外，都归属非牛顿流体

  • 纯粘性流体

    • 与时间无关

      牛顿流体、假塑性流体、膨胀性流体、宾汉(塑性)流体、屈服-假塑性流体、屈服-膨胀性流体

    • 与时间有关

      触变性流体、震凝性流体

  • 粘弹性流体

    • 类型很多
  • 🔎塑性(宾汉)流体
    • 特点：由于其结构性较强，这种流体受力后并不会立即流动，所加的力必须达到足以破坏其结构，发生剪切形变时才会开始流动
    • 剪切稀释特性：这种类型的非牛顿流体的表观粘度随着剪切速率的增加而降低
    • 流变方程(宾汉模式)
      $$\begin{aligned}
      \tau=\tau_{0}+\eta_{p}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}}
      \end{aligned}$$
      $\tau_{0}$为屈服应力，$\eta_{p}$为塑性粘度
    • 表观粘度，以γ表示剪切率，下同
      $$\begin{aligned}
      \eta=\frac{\tau}{\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}}}=\eta_{p}+\frac{\tau_{0}}{\dot{\gamma}}
      \end{aligned}$$
  • 🔎假塑性流体
    • 特点：受力后立即出现流动，流变曲线经过原点，同样具有剪切稀释特性
    • 流变方程(幂律模式)
      $$\begin{aligned}
      \tau=K(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}})^{n}
      \end{aligned}$$
      K为稠度系数，n为小于1的流变系数
    • 表观粘度
      $$\begin{aligned}
      \eta=\frac{\tau}{\dot{\gamma}}=K\dot{\gamma}^{n-1}
      \end{aligned}$$
  • 🔎膨胀性流体
    • 特点：受力后立即流动，流变曲线过原点，具有剪切增稠特性
    • 剪切增稠特性：流体粘度随剪切率增大而增大
    • 流变方程(幂律模式)
      $$\begin{aligned}
      \tau=K(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}})^n
      \end{aligned}$$
      K为稠度系数，n为大于1的流变系数
    • 表观粘度
      $$\begin{aligned}
      \eta=K\dot{\gamma}^{n-1}
      \end{aligned}$$
  • 🔎屈服-加塑性流体
    • 特点：受力后不立即流动，需要克服屈服应力才能流动，具有剪切稀释特性
    • 流变方程(H-B模式)
      $$\begin{aligned}
      \tau=\tau_{0}+K(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dy}})^n
      \end{aligned}$$
      $\tau_{0}$为屈服应力，K为稠度，n为小于1的流变系数
    • 表观粘度
      $$\begin{aligned}
      \eta=\frac{\tau_{0}}{\dot{\gamma}}+K\dot{\gamma}^{n-1}
      \end{aligned}$$
  • 🔎触变性流体
    • 特性：在一定的剪切速率下，随时间增加切应力会下降，粘度会降低。到达某一时刻以后切应力不再变化，形成动态平衡
    • 实例：油墨
  • 🔎震凝性流体
    • 特性：在一定剪切速率下，随时间增加切应力增大，粘度增大，到达某一时刻以后切应力不再变化，保持动态平衡
    • 实例：石膏

作用在流体上的力

• 作用在流体上的力有体积力、表面力、表面张力
• 体积力：也称质量力，是指作用在流体某体积内所有流体质点上，并与这一提及的流体的质量成正比的力。可以理解为某种力场作用在全部流体质点上的力，力的大小和流体的质量或体积成正比。例如重力场中的重力、电场中的电动力、磁场中的磁力、加速场中的惯性力
• 表面力：是指作用在流体体积表面上，与受作用的表面面积成正比的力。例如固体表面对流体的压力、流体内部的压力、流体内的内摩擦力(粘性力)。具微而言可以分为法向力和切向力
  • 法向力：与流体表面垂直
  • 切向力：与流体表面相切
  • 静止流体中不存在切向力，只承受压力而不能承受拉力。即表面力只有法向压应力，由于该压力产生在静止流体中，因而称为静压力。流体静压力的方向总是与作用面垂直并沿作用面内法线方向。静流体内部任意一处的流体静压力在各个方向都相等，在与固体接触的表面，流体静压力总是垂直于器壁.
  • 真空度：真空度=当地大气压——绝对压力
  • 表压强：表压强=绝对压力——当地大气压
• 表面张力：当液体出现自由表面时，液体表面层中的液体分子都受到指向液体内部的拉力，称为表面张力。表面张力存在于液体自由面，以单位长度边界线上的拉应力度量，因此也称为线力
  液体与固体壁面接触时，当液体的分子间内聚力小于液体与壁面间的附着力时，液体的表面张力将使液体垂直管壁上升；反之则垂直下降

毕竟不是专业的，考虑到浅浅地了解，那就先写这么多，若日后有幸入坑流体力学再继续推进叭

特别鸣谢

• 特别鸣谢上海交通大学(SJTU)的船舶海洋与建筑工程学院(School of Naval Architecture,Ocean & Civil Engineering)对本文的资源支持

The End