Kernel function transformation

去年小U写了很长很长的数学物理方法的两篇文章，今天决定发布一些附属文章，本文就专门写一些核函数相关的内容叭

• 快速翻阅详细版本请查阅如下文章奥
  

  复变与变换数学物理方法I

  

  数物方程族数学物理方法Ⅱ

• 哦对了，由于之前的文章很详实了，本文只不加解释地写一些重点

关于Hilbert

• 我们常遇到一类定义在实轴上的复变函数，这一类函数在包括实轴上的上半复平面内解析，并且在无穷点处的极限恒趋于零。为了求函数在实轴上某一点处的函数值，并且想知道函数的实部和虚部与函数的虚部和实部之间的关系，这就引来了Hilbert变换，又称为色散关系。Hilbert变换常常用于频率分析和波的传输分析
• 下面开始分析啦！
  • 设复变函数为
    $$\begin{aligned}
    g(z)=\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{dz}
    \end{aligned}\tag{1}$$
    $z_{0}=x_{0}$，就是我们说的实轴上的一点，由留数定理我们知道，函数$g(z)$在挖去奇点$z_{0}$的闭合曲线C上的积分为零。
    现在以$x_{0}$为圆心做一个$R->\infty$上半圆，我们可以得到这个：
    $$\begin{aligned}
    0=\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}&=(\int_{-R+x_{0}}^{x_{0}-\delta}\frac{f(x)}{x-x_{0}}+\int_{x_{0}+\delta}^{R+x_{0}}\frac{f(x)}{x-x_{0}})\mathrm{dx}\\
    &+\int_{\pi}^{0}\frac{f(x_{0}+\delta e^{i\theta})i\delta e^{i\theta}}{\delta e^{i\theta}}\mathrm{d\theta}+\int_{\pi}^{0}\frac{f(z_{0}+R e^{i\theta})iR e^{i\theta}}{R e^{i\theta}}\mathrm{d\theta}
    \end{aligned}\tag{2}$$
    对于上式第四项，在趋于无穷时被积函数稳定地趋于零，所以没了
    对于上式第三项，函数在$z_{0}$解析，所以结果为$-i\pi f(x_{0})$
    对于前两项是一个无穷限积分：
    $$\begin{aligned}
    (\int_{-R+x_{0}}^{x_{0}-\delta}\frac{f(x)}{x-x_{0}}+\int_{x_{0}+\delta}^{R+x_{0}}\frac{f(x)}{x-x_{0}})\mathrm{dx}=P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}
    \end{aligned}\tag{3}$$
    与是就得到啦如下结果：
    $$\begin{aligned}
    P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}=i\pi f(x_{0})
    \end{aligned}\tag{4}$$上面这个很重要噢！，其实就可以理解为留数定理的结果，只不过是半个圆，所以$2\pi res(f(z))->\pi res(f(z))$ 复变函数为：
    $$\begin{aligned}
    f(x)=u(x)+iv(x)
    \end{aligned}\tag{5}$$
    对应地带入$(4)$就能得到色散关系啦：
    $$\begin{aligned}
    Re f(x_{0})=\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{Im f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}\\
    Im f(x_{0})=-\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty}\frac{Re f(x)}{x-x_{0}}\mathrm{dx}
    \end{aligned}\tag{6}$$

关于Fourier

• 由于这个大家都比较熟悉，不加推导啦
• 傅里叶展开形式
  • 三角级数
    $$\begin{aligned}
    f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(a_{k}\cos\frac{k\pi x}{l}+b_{k}\sin\frac{k\pi x}{l})
    \end{aligned}\tag{1}$$
    $$\begin{aligned}
    a_{k}&=\frac{1}{\delta l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{k\pi x}{l}\mathrm{dx},\quad [k\in N^{+},\delta = 1][k=0,\delta = 2]\\
    b_{k}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{k\pi x}{l}\mathrm{dx}
    \end{aligned}\tag{2}$$
  • 指数式
    $$\begin{aligned}
    f(x)\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_{k}e^{i\frac{k\pi}{l}x}\\
    C_{k}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-ikx}\mathrm{dx}
    \end{aligned}\tag{3}$$
• 延拓方式
  • $f(0)=0$，进行奇延拓
  • $f’(0)=0$，进行偶延拓
• Fourier变换
  • 变换条件：
    • 变换函数是定义在全域上的实函数，并且在任何区间上满足Dirichlet条件，即仅存在有限个第一类间断点，极值数目有限，并且变换绝对值积分收敛
  • 变换形式： $$\begin{aligned}
    f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}C(k)e^{ikx}\mathrm{dk}\\
    C(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\mathrm{dx}
    \end{aligned}\tag{4}$$
    所以傅里叶变换的核函数为$e^{-ikx}$
    一般记法为：
    $$\begin{aligned}
    F(k)=\mathscr{F}(f(x))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\mathrm{dx}
    \end{aligned}$$
  • 三维傅里叶变换形式
    $$\begin{aligned}
    f(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}C(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\mathrm{d\vec{k}}\\
    C(\vec{k})=\int_{-\infty}^{\infty}f(\vec{r})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}\mathrm{d\vec{r}}\\
    \mathrm{d\vec{k}}=\mathrm{dk_{1}}\mathrm{dk_{2}}\mathrm{dk_{3}}\quad \vec{k}=k_{1}e_{1}+k_{2}e_{2}+k_{3}e_{3}
    \end{aligned}\tag{5}$$
  • 变换性质
    • 线性定理
      $$\begin{aligned}
      \mathscr{F}(af(x)+bg(x))=a\mathscr{F}(f(x))+b\mathscr{F}(g(x))
      \end{aligned}\tag{6}$$
    • 延迟定理
      $$\begin{aligned}
      \mathscr{F}(f(x-x_{0}))=e^{-ikx_{0}}\mathscr{F}(f(x))
      \end{aligned}\tag{7}$$
    • 位移定理
      $$\begin{aligned}
      \mathscr{F}(f(x)e^{ik_{0}x})=C(k-k_{0})
      \end{aligned}\tag{8}$$
    • 标度定理
      $$\begin{aligned}
      \mathscr{F}(f(ax))=\frac{1}{a}C(\frac{k}{a})
      \end{aligned}\tag{9}$$
    • 微分定理
      $$\begin{aligned}
      \mathscr{F}(f^{n}(x))=(ik)^{n}\mathscr{F}(f(x))
      \end{aligned}\tag{10}$$
      要求变换函数趋于无穷时，函数稳定趋于零
    • 卷积定理
      $$\begin{aligned}
      \mathscr{F}(f(x)*g(x))=\mathscr{F}(f(x))\mathscr{F}(g(x))\\
      f(x)*g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-\xi)g(x)\mathrm{dx}
      \end{aligned}\tag{11}$$
    • 上面中最常用的就是延迟定理和微分定理啦

关于Laplace

• Laplace变换
  • 核函数：$e^{-pt}$
  • 变换公式：
    $$\begin{aligned}
    F(p)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}\mathrm{dt}
    \end{aligned}\tag{0}$$
  • 记法：$f(t)\fallingdotseq F(p)$，$F(p)$称为像函数
  • 变换性质
    • 线性定理
      $$\begin{aligned}
      af(t)+bg(t)\fallingdotseq aF_{1}(p)+bF_{2}(p)
      \end{aligned}\tag{1}$$
    • 延迟定理
      $$\begin{aligned}
      f(t-t_{0})\fallingdotseq e^{-pt_{0}}F(p)
      \end{aligned}\tag{2}$$
    • 位移定理
      $$\begin{aligned}
      f(t)e^{\lambda t}\fallingdotseq F(p-\lambda)
      \end{aligned}\tag{3}$$
    • 卷积定理
      $$\begin{aligned}
      f(t)*g(t)\fallingdotseq F_{1}(p)F_{2}(p)
      \end{aligned}\tag{4}$$
    • 微分定理
      $$\begin{aligned}
      f’(t)\fallingdotseq pF(p)-f(0)\\
      f’’(t)\fallingdotseq p^2F(p)-pf(0)-f’(0)\\
      f^{n}(t)\fallingdotseq p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f’(0)…-f^{n-1}(0)
      \end{aligned}\tag{5}$$
    • 标度定理
      $$\begin{aligned}
      f(at)\fallingdotseq\frac{1}{a}F(\frac{p}{a})
      \end{aligned}\tag{6}$$
• 由像函数求逆变换的定理
  $$\begin{aligned}
  f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta - i\infty}^{\beta + i\infty}F(p)e^{pt}\mathrm{dp}\quad t>0
  \end{aligned}\tag{7}$$
  $\beta$为任意一条平行于虚轴的直线的实部
• 一族Laplace变换的原-像公式
  $$\begin{equation}
  1\fallingdotseq\frac{1}{p}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  t^n\fallingdotseq \frac{n!}{p^{n+1}}\fallingdotseq\frac{\Gamma(n+1)}{p^{n+1}}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  e^{at}\fallingdotseq\frac{1}{p-a}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  t^ne^{at}\fallingdotseq\frac{\Gamma(n+1)}{(p-n)^{n+1}}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  \sin(at)\fallingdotseq\frac{a}{p^2+a^2}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  \cos(at)\fallingdotseq\frac{p}{p^2+a^2}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  \mathrm{sh}(at)\fallingdotseq\frac{a}{p^2-a^2}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  \mathrm{ch}(at)\fallingdotseq\frac{p}{p^2-a^2}
  \end{equation}$$
  $$\begin{equation}
  \frac{1}{\sqrt{\pi t}}=\frac{1}{\sqrt{p}}
  \end{equation}$$

• 对像函数的求导公式
  $$\begin{equation}
  F^{(n)}(p)\risingdotseq (-1)^nt^nf(t)
  \end{equation}$$
• 对像函数的积分公式
  $$\begin{equation}
  \int_p^{\infty}F(p)\mathrm{dp}\risingdotseq\frac{f(t)}{t}
  \end{equation}$$

特殊函数

Γ函数

• Γ函数定义
  $$\begin{aligned}
  \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{dt}
  \end{aligned}\tag{1}$$
• Γ函数基本性质
  • Γ(1)=1
  • $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)=z!$
  • $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}$
  • 近似关系：$\ln{\Gamma(n+1)}=\ln{n!}\approx n\ln{n}-n$
  • $\Gamma$函数在全平面解析

ψ函数

• ψ函数是Γ函数的对数微商
• ψ函数的定义
  $$\begin{aligned}
  \psi(z)=\frac{\ln{\Gamma(z)}}{\mathrm{dz}}=\frac{\Gamma’(z)}{\Gamma(z)}
  \end{aligned}$$
• ψ函数的性质
  • 在z=0,-1,-2…都是一阶极点，留数均为-1；除了这些点外在全平面解析
  • $\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}$
  • $\psi(z+n)=\psi(z)+\frac{1}{z}+\frac{1}{z+1}+…+\frac{1}{z+n-1}\quad n=2,3,…$
  • $\psi(1-z)=\psi(z)+\pi\cot\pi z$
  • $\psi(z)-\psi(-z)=-\frac{1}{z}-\pi\cot\pi z$
  • $\psi(1)=-\gamma\quad \gamma 为欧拉常数$

B函数

• B函数定义
  $$\begin{aligned}
  B(p,q)=\int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\mathrm{dt}\quad Re p>0,Re q>0
  \end{aligned}$$
• 性质
  • $B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
  • $B(p,q)=B(q,p)$

ζ函数

• ζ函数定义
  $$\begin{aligned}
  \zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z},\quad Re z>1
  \end{aligned}$$
• 性质
  • $\zeta(1-z)=\frac{2\Gamma(z)}{(2\pi)^z}\cos\frac{\pi z}{2}\zeta(z)$
  • $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$
  • $\zeta’(0)=-\frac{1}{2}\ln{2\pi}$